Trắc nghiệm Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán 7 Kết nối tri thức

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến.

“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.

Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đó.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.12 = 8\,cm.$

- Xét các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Các tia $AG,BG$ và $CG$ cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) ta có: $AB = AC;$ \(\widehat A\) chung; $AE = AF.$

Vậy \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

\(GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF\)

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

+ Sử dụng tính chất về đường trung tuyến của tam giác

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\)

+ Từ đó suy ra tính chất của tam giác \(ABC.\)

Hai đường trung tuyến \(BD;CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

\(\Rightarrow\) \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE \Rightarrow \)\(BG = CG.\)

Ta được: \(BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE\)

Xét \(\Delta BGE\) và \(\Delta CGD\) có

+ \(BG = CG\)

+ \(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (đối đỉnh)

+ \(GD = GE\)

Nên \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\)

\(\Rightarrow\) \(BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\) do đó \(AB = AC\) hay tam giác $ABC$ cân tại \(A.\) 

+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Trong \(\Delta GBC\) ta có \(BG + CG > BC\)

Ta lại có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) (tính chất các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\))

Từ đó \(\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\)\( \Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.\)

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $NP,NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).

Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$ là trung điểm của $NP,$ suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\)

Suy ra \({S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)

\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\)

suy ra \({S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)

Do đó \({S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\)

suy ra \( {S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}\)

\(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE\) \(\left( 1 \right)\)

\(K\) là trọng tâm tam giác \(ACE\) nên \(EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(IK = \dfrac{1}{3}BE\) từ đó \(BI = EK = IK\) .

Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua 1 điểm.

Hai đường phân giác \(CD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(I\) mà ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên \(AI\) là phân giác của góc \(A.\)

Áp dụng tính chất 3 đường phân giác của tam giác, tia phân giác của 1 góc, hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\)(gt)

Suy ra, CO là phân giác của \(\widehat {ACB}\)(tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ACO} = \widehat {BCO}\left( 1 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OBC}\left( 2 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN // BC (gt) \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\left( 3 \right)\\\widehat {NOC} = \widehat {OCB}\left( 4 \right)\end{array} \right.\) (so le trong)

Từ (1) và (4) \( \Rightarrow \widehat {NOC} = \widehat {NCO} \Rightarrow \Delta NOC\) cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow NO = NC = 5cm\) (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {MOB} = \widehat {MBO} \Rightarrow \Delta MOB\) cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow MB = MO = 4cm\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow MN = MO + ON = 4 + 5 = 9cm.\)

Áp dụng tính chất:

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy.

$I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác. Vậy A sai

Ta có:\(\Delta ABC\) cân tại $A,I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên $AI$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) . Mà $G$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên $A,G,I$ thẳng hàng. Chọn B.

+ Kẻ \(ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB\)

+ Sử dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác, chứng minh \(AI\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\)

+ Chứng minh \(BF = BD;\) \(AF = AE;CE = CD\)

+ Trên đoạn \(DC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BD = DG\), chứng minh \(IB = IG\)

+ Chứng minh \(IG//AC\)

+ Chứng minh \(IG = GC\)

+ Từ các điều trên ta tính được \(AC\).

Kẻ \(ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB\)

Tam giác \(ABC\) có các đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) cắt nhau tại \(I\) nên \(AI\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\) (tính chất tia phân giác)

Xét \(\Delta BFI\) vuông tại \(F\) và \(\Delta BDI\) vuông tại \(D\) có:

 \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)

\(BI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta BFI = \Delta BDI\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow BF = BD\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: \(AF = AE;CE = CD\).

Trên đoạn \(DC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BD = DG\).

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta GDI\) vuông tại \(D\) có:

\(BD = DG\) (theo cách vẽ)

\(DI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta BDI = \Delta GDI\) (hai cạnh góc vuông) \( \Rightarrow IB = IG\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta IBG\) là tam giác cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {IGB}\) (tính chất tam giác cân) \((1)\)

Ta có: \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\); \((2)\) suy ra: \( \Rightarrow \widehat {IGB} = \widehat {ACB}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(IG//AC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó \(\widehat {{C_2}} = \widehat {GIC}\) (hai góc so le trong)

Mặt khác: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}\) (do \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\))

\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {GIC} \Rightarrow \Delta GIC\) cân tại \(G\) \( \Rightarrow IG = GC\) (định nghĩa tam giác cân)

Ta có: \(AC = AE + CE\)

\(\begin{array}{l} = AF + CD\\ = AF + DG + GC\\ = AF + BD + IG\\ = AF + BF + IB\\ = AB + IB\end{array}\)

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến.

“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.

Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đó.

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.12 = 8\,cm.$

- Xét các tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Các tia $AG,BG$ và $CG$ cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) ta có: $AB = AC;$ \(\widehat A\) chung; $AE = AF.$

Vậy \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

\(GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF\)

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

+ Sử dụng tính chất về đường trung tuyến của tam giác

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\)

+ Từ đó suy ra tính chất của tam giác \(ABC.\)

Hai đường trung tuyến \(BD;CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

\(\Rightarrow\) \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE \Rightarrow \)\(BG = CG.\)

Ta được: \(BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE\)

Xét \(\Delta BGE\) và \(\Delta CGD\) có

+ \(BG = CG\)

+ \(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (đối đỉnh)

+ \(GD = GE\)

Nên \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\)

\(\Rightarrow\) \(BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\) do đó \(AB = AC\) hay tam giác $ABC$ cân tại \(A.\) 

+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Trong \(\Delta GBC\) ta có \(BG + CG > BC\)

Ta lại có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) (tính chất các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\))

Từ đó \(\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\)\( \Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.\)

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $NP,NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).

Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$ là trung điểm của $NP,$ suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\)

Suy ra \({S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)

\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\)

suy ra \({S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)

Do đó \({S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\)

suy ra \( {S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}\)

\(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE\) \(\left( 1 \right)\)

\(K\) là trọng tâm tam giác \(ACE\) nên \(EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(IK = \dfrac{1}{3}BE\) từ đó \(BI = EK = IK\) .

Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua 1 điểm.

Hai đường phân giác \(CD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(I\) mà ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên \(AI\) là phân giác của góc \(A.\)

Áp dụng tính chất 3 đường phân giác của tam giác, tia phân giác của 1 góc, hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\)(gt)

Suy ra, CO là phân giác của \(\widehat {ACB}\)(tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {ACO} = \widehat {BCO}\left( 1 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OBC}\left( 2 \right)\) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN // BC (gt) \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\left( 3 \right)\\\widehat {NOC} = \widehat {OCB}\left( 4 \right)\end{array} \right.\) (so le trong)

Từ (1) và (4) \( \Rightarrow \widehat {NOC} = \widehat {NCO} \Rightarrow \Delta NOC\) cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow NO = NC = 5cm\) (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {MOB} = \widehat {MBO} \Rightarrow \Delta MOB\) cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow MB = MO = 4cm\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow MN = MO + ON = 4 + 5 = 9cm.\)

Áp dụng tính chất:

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy.

$I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác. Vậy A sai

Ta có:\(\Delta ABC\) cân tại $A,I$ là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên $AI$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) . Mà $G$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên $A,G,I$ thẳng hàng. Chọn B.

+ Kẻ \(ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB\)

+ Sử dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác, chứng minh \(AI\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\)

+ Chứng minh \(BF = BD;\) \(AF = AE;CE = CD\)

+ Trên đoạn \(DC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BD = DG\), chứng minh \(IB = IG\)

+ Chứng minh \(IG//AC\)

+ Chứng minh \(IG = GC\)

+ Từ các điều trên ta tính được \(AC\).

Kẻ \(ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB\)

Tam giác \(ABC\) có các đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) cắt nhau tại \(I\) nên \(AI\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\) (tính chất tia phân giác)

Xét \(\Delta BFI\) vuông tại \(F\) và \(\Delta BDI\) vuông tại \(D\) có:

 \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)

\(BI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta BFI = \Delta BDI\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow BF = BD\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: \(AF = AE;CE = CD\).

Trên đoạn \(DC\) lấy điểm \(G\) sao cho \(BD = DG\).

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D\) và \(\Delta GDI\) vuông tại \(D\) có:

\(BD = DG\) (theo cách vẽ)

\(DI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta BDI = \Delta GDI\) (hai cạnh góc vuông) \( \Rightarrow IB = IG\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta IBG\) là tam giác cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {IGB}\) (tính chất tam giác cân) \((1)\)

Ta có: \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\); \((2)\) suy ra: \( \Rightarrow \widehat {IGB} = \widehat {ACB}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(IG//AC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó \(\widehat {{C_2}} = \widehat {GIC}\) (hai góc so le trong)

Mặt khác: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}\) (do \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\))

\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {GIC} \Rightarrow \Delta GIC\) cân tại \(G\) \( \Rightarrow IG = GC\) (định nghĩa tam giác cân)

Ta có: \(AC = AE + CE\)

\(\begin{array}{l} = AF + CD\\ = AF + DG + GC\\ = AF + BD + IG\\ = AF + BF + IB\\ = AB + IB\end{array}\)