Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Khái niệm cơ bản

1. Đường thẳng: Trong không gian, đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt. Một đường thẳng có vô số điểm. Để xác định một đường thẳng, ta có thể sử dụng:

• Hai điểm phân biệt
• Một điểm và một vectơ chỉ phương
• Một điểm và phương trình của đường thẳng

2. Mặt phẳng: Mặt phẳng là hình hình học vô hạn, phẳng và không có biên. Để xác định một mặt phẳng, ta có thể sử dụng:

• Ba điểm không thẳng hàng
• Một điểm và một vectơ pháp tuyến
• Một điểm và phương trình của mặt phẳng

II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Có ba trường hợp vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

1. Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung và nằm trong cùng một mặt phẳng.
2. Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng có một điểm chung duy nhất.
3. Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không có điểm chung, không song song và không nằm trong cùng một mặt phẳng.

III. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Có ba trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng: Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó không có điểm chung với mặt phẳng.
2. Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng cắt mặt phẳng nếu nó có một điểm chung duy nhất với mặt phẳng.
3. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Đường thẳng nằm trong mặt phẳng nếu mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Viết phương trình đường thẳng AB.

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: AB = (3-1; 4-2; 5-3) = (2; 2; 2)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

x = 1 + 2t

y = 2 + 2t

z = 3 + 2t

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0 và điểm A(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Giải:

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng AA' vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P): n = (2; 1; -1)

Phương trình tham số của đường thẳng AA' là:

x = 1 + 2t

y = 2 + t

z = 3 - t

A' thuộc (P) nên tọa độ A' thỏa mãn phương trình (P):

2(1 + 2t) + (2 + t) - (3 - t) + 1 = 0

2 + 4t + 2 + t - 3 + t + 1 = 0

6t + 2 = 0

t = -1/3

Vậy, tọa độ A' là:

x = 1 + 2(-1/3) = 1/3

y = 2 + (-1/3) = 5/3

z = 3 - (-1/3) = 10/3

A' = (1/3; 5/3; 10/3)

V. Luyện tập

Các em hãy tự giải thêm các bài tập trong SGK và sách bài tập để củng cố kiến thức. Loigiai.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật lời giải chi tiết cho các bài tập còn lại trong chương II.