Câu 13 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 13 Trang 51 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải

Câu 13 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học về Vectơ trong không gian. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh các mối quan hệ hình học.

I. Đề Bài Câu 13 Trang 51 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Đề bài thường có dạng như sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

II. Phương Pháp Giải Bài Toán Vectơ trong Không Gian

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Chọn hệ tọa độ: Chọn gốc tọa độ và các trục tọa độ phù hợp. Thông thường, ta chọn A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy và AS làm trục Oz.
2. Tìm tọa độ các điểm: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, S dựa trên hệ tọa độ đã chọn.
3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng SC.
4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
5. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin(θ) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||), trong đó a là vectơ chỉ phương của đường thẳng, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và θ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

III. Lời Giải Chi Tiết Câu 13 Trang 51 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Chọn A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy và AS làm trục Oz.

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm

• A(0; 0; 0)
• B(a; 0; 0)
• C(a; a; 0)
• D(0; a; 0)
• S(0; 0; a)

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng SC

Vectơ SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)

Bước 4: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)

Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n = (0; 0; 1)

Bước 5: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

sin(θ) = |SC.n| / (||SC|| * ||n||) = |(a; a; -a).(0; 0; 1)| / (√(a² + a² + (-a)²) * √(0² + 0² + 1²)) = |-a| / (√(3a²) * 1) = a / (a√3) = 1/√3

Vậy, θ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°

IV. Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Vectơ trong Không Gian

• Việc chọn hệ tọa độ phù hợp là rất quan trọng, giúp đơn giản hóa bài toán.
• Cần nắm vững các công thức tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

V. Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Hình học 11 Nâng cao.

VI. Kết Luận

Câu 13 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong không gian. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự.