Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng - SGK Toán 9 - Kết nối tri thức

Bài 20 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào một trong những kiến thức quan trọng nhất của chương trình đại số lớp 9: Định lí Viète. Định lí này cung cấp mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và các nghiệm của nó, mở ra một phương pháp giải quyết bài toán hiệu quả và tinh tế.

1. Nội dung chính của Định lí Viète

Định lí Viète phát biểu rằng, với phương trình bậc hai tổng quát có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0), nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂, thì:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
• Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Đặc biệt, nếu phương trình có dạng x² + px + q = 0, thì:

• x₁ + x₂ = -p
• x₁ * x₂ = q

2. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là:

• Kiểm tra nghiệm của phương trình: Sau khi tìm được nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụng Định lí Viète để kiểm tra lại tính đúng đắn của nghiệm.
• Tìm nghiệm của phương trình: Nếu biết tổng và tích của hai nghiệm, ta có thể tìm ra hai nghiệm đó bằng cách giải hệ phương trình.
• Xây dựng phương trình bậc hai: Nếu biết hai nghiệm của phương trình, ta có thể xây dựng phương trình bậc hai tương ứng.
• Giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình: Định lí Viète giúp ta giải quyết các bài toán phức tạp hơn, ví dụ như tìm giá trị của biểu thức chứa nghiệm của phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm.

Giải:

Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo Định lí Viète:

• Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
• Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x² + 3x - 5 = 0. Tìm hai nghiệm của phương trình.

Giải:

Ta có a = 2, b = 3, c = -5. Tính delta: Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-5) = 49. Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-3 + 7) / 4 = 1

x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-3 - 7) / 4 = -2.5

4. Bài tập luyện tập

Để nắm vững kiến thức về Định lí Viète và ứng dụng, các em hãy làm các bài tập sau:

1. Cho phương trình x² + 4x - 5 = 0. Tìm tổng và tích của hai nghiệm.
2. Cho phương trình 3x² - 7x + 2 = 0. Tìm hai nghiệm của phương trình.
3. Tìm giá trị của m để phương trình x² - 2mx + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 4.

5. Kết luận

Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải toán liên quan đến phương trình bậc hai. Việc nắm vững định lí và các ứng dụng của nó sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!