Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc - Giải Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Góc giữa hai mặt phẳng:

• Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

Có nhiều cách để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, trong đó có:

• Cách 1: Chứng minh có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia.
• Cách 2: Chứng minh có một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng và đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
• Cách 3: Sử dụng định lý về đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng vuông góc thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SAD) và (SBC) vuông góc với nhau.

Lời giải:

Vì SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với AD và BC.

Xét tam giác SAD, có SO vuông góc với AD. Suy ra AD vuông góc với (SO, AD). Do đó, (SAD) vuông góc với SO.

Tương tự, xét tam giác SBC, có SO vuông góc với BC. Suy ra BC vuông góc với (SO, BC). Do đó, (SBC) vuông góc với SO.

Vì (SAD) và (SBC) đều vuông góc với SO, nên góc giữa (SAD) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và BC. Mà AD và BC vuông góc với nhau (vì ABCD là hình vuông) nên (SAD) và (SBC) vuông góc với nhau.

III. Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = 3cm, AC = 4cm, SA = 5cm. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng AB vuông góc với (P) và (Q).

IV. Mở rộng và nâng cao

Trong không gian, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng và chứng minh tính vuông góc của chúng là những bài toán quan trọng. Các em cần nắm vững lý thuyết, hiểu rõ các điều kiện và tính chất liên quan để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc trong thực tế, ví dụ như trong kiến trúc, xây dựng, hoặc trong việc giải các bài toán hình học không gian phức tạp.

V. Kết luận

Bài học Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về chủ đề này. Hy vọng rằng, với sự hướng dẫn chi tiết và các bài tập luyện tập tại loigiai.com.vn, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.