Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập - Giải Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 28 trong chương trình Toán 11 Tập 2, Kết nối tri thức, đi sâu vào nghiên cứu về các loại biến cố quan trọng trong lý thuyết xác suất: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao của A và B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Để biến cố giao xảy ra, cả A và B đều phải đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, việc biết A đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của B, và ngược lại.

Điều kiện để A và B là độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Ví dụ minh họa

Xét một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Chúng ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp mà không hoàn lại.

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”.

Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”.

Tính P(A ∩ B) và xác định xem A và B có độc lập hay không.

Giải:

P(A) = 3/5

P(B|A) = 2/4 = 1/2 (xác suất quả bóng thứ hai đỏ, biết quả bóng thứ nhất đỏ)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (3/5) * (1/2) = 3/10

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (P(B) = 3/5), nên A và B không độc lập.

Bài tập áp dụng

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.8, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
3. Trong một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 10 học sinh giỏi Toán và 8 học sinh giỏi Văn. Có 5 học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hoặc giỏi Văn.

Kết luận

Hiểu rõ về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán xác suất. Việc áp dụng đúng các công thức và hiểu rõ mối quan hệ giữa các biến cố sẽ giúp các em đạt kết quả tốt trong môn Toán.