Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tăng trưởng, giảm dần, và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• q là công bội của cấp số nhân.
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1, thì S_n = n.u₁

4. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tìm số hạng tổng quát: Đề bài thường cho số hạng đầu u₁ và công bội q, yêu cầu tìm u_n.
2. Tìm công bội: Đề bài thường cho hai số hạng liên tiếp, yêu cầu tìm q.
3. Tìm số hạng: Đề bài thường cho u₁, q và n, yêu cầu tìm u_n.
4. Tính tổng: Đề bài thường cho u₁, q và n, yêu cầu tính S_n.
5. Ứng dụng: Các bài toán liên quan đến lãi kép, sự tăng trưởng dân số, hoặc các hiện tượng tăng/giảm theo cấp số nhân.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1, ta có:

u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Giải: Áp dụng công thức S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q), ta có:

S₁₀ = 1.(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023

6. Lời khuyên khi giải bài tập

• Nắm vững định nghĩa và các công thức liên quan đến cấp số nhân.
• Đọc kỹ đề bài để xác định đúng các giá trị u₁, q và n.
• Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán nhanh chóng và chính xác.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

7. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, các em có thể tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm và công thức.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!