Bài 5: Khoảng cách

Bài 5: Khoảng cách - SGK Toán 11 Nâng cao: Giải pháp chi tiết và đầy đủ

Bài 5 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc tính toán khoảng cách trong không gian, một chủ đề quan trọng trong hình học không gian. Để nắm vững kiến thức này, học sinh cần hiểu rõ các công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ: { x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct } được tính theo công thức:

d(M, Δ) = |[ (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) x (a, b, c) ]| / √(a² + b² + c²)

Trong đó, [u x v] là tích có hướng của hai vectơ u và v.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂, ta thực hiện các bước sau:

• Tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng: a₁ và a₂.
• Tìm một điểm thuộc mỗi đường thẳng: M₁ ∈ Δ₁ và M₂ ∈ Δ₂.
• Tính vectơ M₁M₂.
• Tính thể tích V của khối tứ diện tạo bởi M₁, M₂ và hai điểm trên mỗi đường thẳng sao cho chúng tạo thành một mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng là h = 6V / |[a₁ x a₂]|

II. Phương pháp giải bài tập

1. Xác định đúng công thức:

Đọc kỹ đề bài để xác định đúng đối tượng cần tính khoảng cách (điểm đến mặt phẳng, điểm đến đường thẳng, hay giữa hai đường thẳng) và chọn công thức phù hợp.

2. Tìm tọa độ điểm và các thông số cần thiết:

Xác định tọa độ của điểm, phương trình của mặt phẳng hoặc đường thẳng, và các vectơ chỉ phương cần thiết cho việc tính toán.

3. Thực hiện tính toán chính xác:

Thực hiện các phép tính một cách cẩn thận, đặc biệt là các phép tính vectơ và tích có hướng.

4. Kiểm tra lại kết quả:

Sau khi tính toán, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác và hợp lý.

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Giải:

d(A, (P)) = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm B(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: { x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t }.

Giải:

M₁(1, 2, 3) ∈ Δ, a = (1, 1, 1), M₁B = (-1, -2, -3)

d(B, Δ) = |[ (-1, -2, -3) x (1, 1, 1) ]| / √(1² + 1² + 1²) = |(-5, 0, 1)| / √3 = √(25 + 0 + 1) / √3 = √26 / √3 = √(78)/3

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về khoảng cách trong không gian, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như loigiai.com.vn để rèn luyện kỹ năng giải bài tập.

Việc hiểu rõ lý thuyết và phương pháp giải bài tập là chìa khóa để thành công trong môn Toán 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!