Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 35 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website loigiai.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải bài tập một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây!
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Lời giải chi tiết
a. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.
Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.
b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.
Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :
\(\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \)
Từ đó ta có : \(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta cũng có :
\(C{B^2} + C{A^2} = D{B^2} + D{A^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(A{D^2} - B{C^2} = B{C^2} - D{A^2},\) tức là DA = BC và từ (1) ta cũng có AC = BD.
Đề bài: (SGK Hình học 11 Nâng cao trang 118) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD. Ta có:
Xét tam giác ACD, M là trung điểm CD, suy ra AM là đường trung tuyến. Trong tam giác ACD, ta có:
AM2 = AD2 + DM2 = a2 + (a/2)2 = (5/4)a2 => AM = (√5/2)a
Xét tam giác ABD, O là trung điểm BD, suy ra AO = BO = (√2/2)a
Xét tam giác AMO, ta có:
AO2 + OM2 = (√2/2)a2 + (a/2)2 = (3/4)a2
AM2 = (5/4)a2
=> AO2 + OM2 ≠ AM2 => Tam giác AMO không vuông tại O.
Xét tam giác BDM, O là trung điểm BD, suy ra BO = DO = (√2/2)a
BM2 = BC2 + CM2 = a2 + (a/2)2 = (5/4)a2 => BM = (√5/2)a
Xét tam giác BOM, ta có:
BO2 + OM2 = (√2/2)a2 + (a/2)2 = (3/4)a2
BM2 = (5/4)a2
=> BO2 + OM2 ≠ BM2 => Tam giác BOM không vuông tại O.
Ta có: BD ⊥ AC và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)). Do đó, BD ⊥ (SAC). Mà AM ∈ (SAC) nên BD ⊥ AM.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa SM và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa SM và hình chiếu của SM lên (ABCD), tức là góc giữa SM và AM.
Xét tam giác SAM vuông tại A, ta có:
SM2 = SA2 + AM2 = a2 + (5/4)a2 = (9/4)a2 => SM = (3/2)a
sin(SMA) = SA/SM = a / (3/2)a = 2/3
=> Góc giữa SM và (ABCD) = arcsin(2/3) ≈ 41.81°
Gọi d là khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM). Ta có:
VCSBM = (1/3) * diện tích(SBM) * d
Diện tích(SBM) = (1/2) * BM * SA = (1/2) * (√5/2)a * a = (√5/4)a2
VCSBM = VS.ABCD - VS.ABM - VS.BCM
VS.ABCD = (1/3) * diện tích(ABCD) * SA = (1/3) * a2 * a = (1/3)a3
VS.ABM = (1/6) * a3
VS.BCM = (1/6) * a3
VCSBM = (1/3)a3 - (1/6)a3 - (1/6)a3 = (1/3)a3
=> (1/3)a3 = (1/3) * (√5/4)a2 * d
=> d = (4a) / √5 = (4√5/5)a
Vậy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM) là (4√5/5)a.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
