Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12

Bài 1 trong chương 1 Toán 12 tập 1, thuộc chương trình Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về hành vi của hàm số. Bài học này tập trung vào việc xác định các khoảng đơn điệu (tăng, giảm) và các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm.

I. Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về tính đơn điệu và cực trị, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Hàm số đơn điệu: Một hàm số được gọi là đơn điệu trên một khoảng nếu nó luôn tăng hoặc luôn giảm trên khoảng đó.
• Hàm số tăng: Hàm số f(x) được gọi là tăng trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) < f(x2).
• Hàm số giảm: Hàm số f(x) được gọi là giảm trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) > f(x2).
• Điểm cực trị: Một điểm x0 được gọi là điểm cực trị của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x0 sao cho f(x0) là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của f(x) trên khoảng đó.
• Điểm cực đại: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x0 sao cho f(x0) > f(x) với mọi x thuộc khoảng đó.
• Điểm cực tiểu: Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x0 sao cho f(x0) < f(x) với mọi x thuộc khoảng đó.

II. Phương pháp tìm tính đơn điệu và cực trị

Để tìm tính đơn điệu và cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định. Các điểm này là các điểm tới hạn.
3. Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:
   • Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số tăng trên khoảng đó.
   • Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số giảm trên khoảng đó.
5. Xác định cực trị:
   • Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x0, x0 là điểm cực đại.
   • Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x0, x0 là điểm cực tiểu.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Tìm điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Xác định dấu của f'(x):
   • Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0 => hàm số tăng.
   • Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0 => hàm số giảm.
   • Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0 => hàm số tăng.
4. Kết luận:
   • Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
   • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

IV. Bài tập áp dụng

Các em hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài 1: Tìm tính đơn điệu và cực trị của hàm số f(x) = x⁴ - 4x² + 3.
• Bài 2: Tìm tính đơn điệu và cực trị của hàm số f(x) = (x - 1)²(x + 2).

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc các em học tốt!