Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trong chương 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo giới thiệu về vectơ trong không gian, các khái niệm cơ bản và các phép toán quan trọng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng cho các bài học tiếp theo về hình học không gian.

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.

• Độ dài của vectơ: Là khoảng cách giữa điểm gốc và điểm cuối, ký hiệu là |AB|.
• Vectơ chỉ phương: Là vectơ có giá song song với đường thẳng.
• Vectơ đơn vị: Là vectơ có độ dài bằng 1.

II. Các phép toán trên vectơ

Có ba phép toán cơ bản trên vectơ: cộng, trừ và nhân với một số thực.

1. Phép cộng vectơ:AB + BC = AC (quy tắc tam giác hoặc quy tắc hình bình hành).
2. Phép trừ vectơ:AB - BC = AC.
3. Phép nhân vectơ với một số thực:k.AB là một vectơ có cùng hướng với AB nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0. Độ dài của k.AB là |k|. |AB|.

III. Các tính chất của phép toán vectơ

Các phép toán vectơ tuân theo các tính chất sau:

• Tính giao hoán của phép cộng:AB + BC = BC + AB
• Tính kết hợp của phép cộng:(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD)
• Tính chất của phần tử đơn vị:AB + 0 = AB
• Tính chất của phần tử đối:AB + (-AB) = 0
• Tính chất phân phối của phép nhân với một số thực đối với phép cộng:k(AB + BC) = k.AB + k.BC
• Tính chất kết hợp của phép nhân với một số thực:(k.l).AB = k.(l.AB)

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

Giải:

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

Ví dụ 2: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 0) và C(0; -1; 2). Tính độ dài của vectơ AB.

Giải:

AB = (2 - 1; 1 - 2; 0 - 3) = (1; -1; -3)

|AB| = √(1² + (-1)² + (-3)²) = √(1 + 1 + 9) = √11

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vectơ và các phép toán trong không gian, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Loigiai.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập để giúp các em học tập tốt hơn.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!