Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

I. Khái niệm giới hạn của dãy số

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Nếu dãy số (u_n) không có giới hạn hữu hạn, ta nói dãy số đó phân kỳ.

II. Các dạng giới hạn của dãy số

• Dãy số hội tụ: Dãy số có giới hạn hữu hạn.
• Dãy số phân kỳ: Dãy số không có giới hạn hữu hạn. Có hai trường hợp phân kỳ:

• Phân kỳ ra vô cùng dương: lim_n→∞ u_n = +∞
• Phân kỳ ra vô cùng âm: lim_n→∞ u_n = -∞

III. Các tính chất của giới hạn dãy số

1. Giới hạn của một tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
2. Giới hạn của một hiệu: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
3. Giới hạn của một tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
4. Giới hạn của một thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số u_n = 1/n.

Ta có: lim_n→∞ 1/n = 0.

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của dãy số u_n = n² + 1.

Ta có: lim_n→∞ (n² + 1) = +∞.

V. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số u_n = (2n + 1) / (n - 1).

Bài 2: Tìm giới hạn của dãy số u_n = (-1)ⁿ.

Bài 3: Chứng minh dãy số u_n = (n + 1) / n hội tụ và tìm giới hạn của nó.

VI. Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn của dãy số, cần chú ý đến các tính chất của giới hạn và các dạng giới hạn đặc biệt. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn và các định lý liên quan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 15. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!