Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) \({u_1} = - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;\;{u_3} = - \frac{1}{3};\;\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;\;{u_5} = - \frac{1}{5}\).

b) Ta có: \({u_{100}} = 0,01\) suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).

Phương pháp giải:

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}\) ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn \(1.69 \times {10^{ - 5}}\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }{v_n}\;\).

Phương pháp giải:

Dãy sô \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({v_n}\; = 0\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).

Phương pháp giải:

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = \frac{{3 \times {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 \times {2^n} - 1 - 3 \times {2^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).

Do vậy \({u_n}\; = 3\).

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Phương pháp giải:

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: \({u_1} = 5.\frac{2}{3}\) (m).

Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: \({u_2} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) (m).

…

Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) (m).

Vì \(|q| = \frac{2}{3} < 0\) nên \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó giới hạn của \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng 0.