Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2

Bài 28 trong sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu hai loại đường tròn quan trọng liên quan đến tam giác: đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Việc hiểu rõ tính chất và cách xác định các đường tròn này là nền tảng quan trọng cho việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

1. Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp được gọi là bán kính ngoại tiếp, ký hiệu là R.

• Tính chất:
  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác.
  • Góc ở tâm (tạo bởi hai bán kính nối đến hai đỉnh của tam giác) bằng hai lần góc ở đỉnh đối diện.
• Cách xác định:
  • Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ của tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực này là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
  • Khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kỳ của tam giác là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

2. Đường tròn nội tiếp của một tam giác

Đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp được gọi là bán kính nội tiếp, ký hiệu là r.

• Tính chất:
  • Tâm của đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác.
  • Đường tròn nội tiếp nằm hoàn toàn bên trong tam giác.
• Cách xác định:
  • Vẽ các đường phân giác của hai góc bất kỳ của tam giác. Giao điểm của hai đường phân giác này là tâm của đường tròn nội tiếp.
  • Từ tâm, kẻ đường vuông góc đến một cạnh bất kỳ của tam giác. Độ dài đoạn vuông góc này là bán kính của đường tròn nội tiếp.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Trong một tam giác, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có mối quan hệ mật thiết với nhau. Chúng đều đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học của tam giác.

Công thức Euler chỉ ra mối quan hệ giữa khoảng cách d giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp, bán kính ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r: d² = R(R - 2r)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BC/2 = 5/2 = 2.5cm (vì trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền).
• Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (AB + AC - BC)/2 = (3 + 4 - 5)/2 = 1cm.

Bài tập 2: Cho tam giác đều cạnh a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác đều đó.

Giải:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/√3
• Bán kính đường tròn nội tiếp: r = a/(2√3)

5. Ứng dụng của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, như:

• Giải các bài toán hình học liên quan đến tam giác.
• Tính toán các yếu tố hình học của tam giác.
• Ứng dụng trong kiến trúc, xây dựng và các ngành kỹ thuật khác.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác trong sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2. Chúc các em học tập tốt!