Bài 4. Phép Đối Xứng Tâm

Bài 4. Phép đối xứng tâm - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 4. Phép đối xứng tâm thuộc Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo, Chuyên đề 1. Phép biến hình phẳng. Bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về phép đối xứng tâm, các tính chất và ứng dụng của nó trong giải toán.

Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em tự học và ôn tập hiệu quả.

Bài 4. Phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa:

Phép đối xứng tâm O với tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'. Kí hiệu: Đ_O(M) = M'.

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách: Đ_O(M₁, M₂) = M₁', M₂' và M₁M₂ = M₁'M₂'.
Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng được bảo toàn qua phép đối xứng tâm.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu O(x₀, y₀) và M(x, y) thì M'(x', y') được tính bởi:

x' = 2x₀ - x
y' = 2y₀ - y

4. Ví dụ minh họa:

Cho điểm A(1, 2) và tâm O(0, 0). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ:

x' = 2(0) - 1 = -1
y' = 2(0) - 2 = -2

Vậy A'(-1, -2).

5. Ứng dụng:

Phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt trong việc chứng minh tính chất của các hình đối xứng. Nó cũng được sử dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc và vị trí tương đối của các điểm và đường thẳng.

6. Bài tập vận dụng:

Cho điểm B(3, -1) và tâm O(1, 1). Tìm ảnh B' của điểm B qua phép đối xứng tâm O.
Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O(0, 0).
Chứng minh rằng hai tam giác đối xứng qua một điểm có diện tích bằng nhau.

7. Mở rộng:

Phép đối xứng tâm là một trường hợp đặc biệt của phép biến hình. Ngoài phép đối xứng tâm, còn có các phép biến hình khác như phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự. Việc nắm vững các phép biến hình này sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về hình học và giải quyết các bài toán phức tạp.

8. Kết luận:

Bài học về phép đối xứng tâm đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ và ứng dụng của phép biến hình này. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến phép đối xứng tâm.