Bài tập cuối chương VII

Bài tập cuối chương VII - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Chương VII trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống tập trung vào việc nghiên cứu về quan hệ vuông góc trong không gian. Đây là một phần kiến thức nền tảng quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm hình học không gian và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

1. Các khái niệm cơ bản về quan hệ vuông góc trong không gian

Để hiểu rõ về quan hệ vuông góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ.
• Đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90 độ.

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Có hai điều kiện chính để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng:

1. Đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng.
2. Đường thẳng đó vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đường thẳng đó không song song với mặt phẳng.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Có ba điều kiện chính để hai mặt phẳng vuông góc:

1. Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
2. Góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng bằng 90 độ.
3. Hai mặt phẳng có một giao tuyến và hai mặt phẳng cùng chứa các đường thẳng vuông góc với giao tuyến đó.

4. Ứng dụng của quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vuông góc trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình học không gian.

Bài tập cuối chương VII - Giải chi tiết

Dưới đây là giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong bài tập cuối chương VII - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức:

Bài 1: (Trang 100)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BC. Do đó, tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Ta có:

tan(góc giữa SB và (ABCD)) = SA/AB = SA/a

Vậy, góc giữa SB và (ABCD) = arctan(SA/a)

Bài 2: (Trang 102)

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A và trên (Q) có điểm B. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng AB vuông góc với (P) và (Q).

Giải:

Vì (P) và (Q) vuông góc với nhau nên tồn tại đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng. Gọi H là hình chiếu của A lên d và K là hình chiếu của B lên d. Khi đó, AH và BK vuông góc với d. Vì M là trung điểm của AB nên M là trung điểm của HK. Do đó, AM = BM. Vì AH và BK vuông góc với d nên AH và BK song song với nhau. Vậy, AB vuông góc với d.

Bài 3: (Trang 105)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A'C.

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D'. Ta có:

AC = √(AB^2 + BC^2)

A'C = √(A'B'^2 + B'C'^2)

A'C' = AC

Góc giữa AC và A'C được tính bằng công thức:

cos(góc giữa AC và A'C) = (AC^2 + A'C^2 - AA'^2) / (2 * AC * A'C)

Hy vọng với những kiến thức và bài giải trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về chương VII - Quan hệ vuông góc trong không gian và tự tin giải các bài tập trong SGK Toán 11 - Kết nối tri thức.