Chương III. Hàm số bậc hai và đồ thị

Chương III: Hàm số bậc hai và đồ thị - SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo

Chương III trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu hàm số bậc hai, một trong những hàm số quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán toán học. Chương này bao gồm các nội dung chính sau:

• Định nghĩa hàm số bậc hai: Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.
• Đồ thị hàm số bậc hai (Parabol): Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Hình dạng và vị trí của parabol phụ thuộc vào hệ số a, b, và c.
• Bảng biến thiên của hàm số bậc hai: Bảng biến thiên giúp xác định các điểm đặc biệt của parabol như đỉnh, trục đối xứng, và giao điểm với các trục tọa độ.
• Phương trình bậc hai và ứng dụng: Giải phương trình bậc hai và ứng dụng vào giải các bài toán thực tế.
• Dấu của tam thức bậc hai: Xác định dấu của tam thức bậc hai dựa vào hệ số và biệt thức.

I. Các khái niệm cơ bản về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là một công cụ quan trọng trong toán học, được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng trong thực tế. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và đồ thị của hàm số bậc hai là điều cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.

Định nghĩa: Hàm số bậc hai được xác định bởi công thức y = ax² + bx + c, với a, b, c là các số thực và a ≠ 0. 'a' là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất, và 'c' là hệ số tự do.

Ví dụ: y = 2x² - 3x + 1 là một hàm số bậc hai với a = 2, b = -3, và c = 1.

II. Đồ thị hàm số bậc hai (Parabol)

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong hình chữ U, được gọi là parabol. Hình dạng và vị trí của parabol phụ thuộc vào giá trị của hệ số 'a'.

• Nếu a > 0: Parabol có bề lõm hướng lên trên.
• Nếu a < 0: Parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Đỉnh của parabol: Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc điểm cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh của parabol được tính theo công thức:

x_đỉnh = -b / 2a

y_đỉnh = f(x_đỉnh)

Trục đối xứng của parabol: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục Oy. Phương trình của trục đối xứng là x = -b / 2a.

III. Bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Bảng biến thiên là một công cụ hữu ích để phân tích sự biến đổi của hàm số bậc hai. Bảng biến thiên giúp xác định các điểm đặc biệt của parabol như đỉnh, trục đối xứng, và giao điểm với các trục tọa độ.

Ví dụ: Xét hàm số y = x² - 4x + 3.

x_đỉnh = -(-4) / (2 * 1) = 2

y_đỉnh = 2² - 4 * 2 + 3 = -1

Vậy, đỉnh của parabol là (2, -1) và trục đối xứng là x = 2.

IV. Phương trình bậc hai và ứng dụng

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0. Nghiệm của phương trình bậc hai được tìm bằng công thức nghiệm:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Biệt thức (Δ): Δ = b² - 4ac

• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

Phương trình bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như tính toán quỹ đạo của vật thể ném, thiết kế các công trình kiến trúc, và giải các bài toán kinh tế.

V. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c phụ thuộc vào dấu của hệ số 'a' và dấu của biệt thức Δ.

• Nếu a > 0 và Δ > 0: f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂, và f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.
• Nếu a > 0 và Δ = 0: f(x) > 0 với mọi x ≠ x₁.
• Nếu a > 0 và Δ < 0: f(x) > 0 với mọi x.

Kết luận: Chương III: Hàm số bậc hai và đồ thị là một chương quan trọng trong chương trình Toán 10. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và tự tin. Chúc các em học tập tốt!