Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 12

a) Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là x (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là 2y (nghìn đồng). Điều kiện: \(x,y \in \mathbb{N}\).

b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là x + 2y \( \le \) 100.

c) Trong một tháng, Bình có thể gọi 50 phút nội mạng và 20 phút ngoại mạng mà số tiền phải trả không đến 100 nghìn đồng.

d) Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn x, y biểu diễn số tiền phải trả cho tổng đài là một hình tam giác.

a) \(\alpha = {60^o}\).

b) \(\sin \alpha < 0\).

c) \({\tan ^2}\alpha = 3\).

d) Giá trị biểu thức \(P = 3{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha = \frac{{13}}{4}\).

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right| = AO\).

c) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = 0\).

d) Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = MO\) là một điểm.

a) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 3\).

b) \(2{x^2} + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

c) \(f(x) > 0\), \(\forall x \in ( - \infty ;0) \cup (3; + \infty )\).

d) \(f(x) < 0\), \(\forall x \in (0;3)\).

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.

Chỉ có câu 3. không phải mệnh đề.

Áp dụng quy tắc viết kí hiệu bao hàm giữa phần tử và tập hợp, giữa tập hợp và tập hợp.

A sai vì a là phần tử, không dùng kí hiệu \( \subset \).

B đúng.

C sai vì {a} là tập hợp chứa 1 phần tử a, không dùng kí hiệu \( \in \).

D sai vì (a;b] là tập hợp không chứa phần tử a.

Thay cặp số vào từng hệ bất phương trình, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Thay tọa độ của O(0;0) vào tất cả các bất phương trình trên, chỉ thấy \(0 + 3.0 < 0\) là sai.

Vậy O(0;0) không phải là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y < 0\\2x + y + 4 > 0\end{array} \right.\).

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ ở đáp án D không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ này chứa một bất phươngtrình bậc hai \({x^2} + 2y \le 15\).

Tra bảng giá trị lượng giác của các góc có số đo đặc biệt hoặc sử dụng máy tính cá nhân.

\(\sin {150^o} = \frac{1}{2}\); \(\cos {150^o} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\tan {150^o} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\); \(\cot {150^o} = - \sqrt 3 \).

Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC.

Theo định lí Sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Quan sát hình vẽ. Các vecto cùng hướng có giá song song và cùng chiều nhau.

Các vecto cùng hướng với \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow v \).

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{x}{{x + 2}}\) là \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2\).

Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \).

Áp dụng kiến thức về đồ thị, sự biến thiên của hàm số bậc hai.

Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol. A sai.

Khi đó, hàm số không thể chỉ đồng biến (đồ thị đi lên từ trái sang) hay nghịch biến (đồ thị đi xuống từ trái sang) nên C, D sai.

Công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA.BC\cos \widehat {ABC} = a.a\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Tam thức bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Để biểu thức \(f(x) = (m - 2){x^2} + 2x - 3\) là một tam thức bậc hai thì \(m - 2 \ne 0\) hay \(m \ne 2\).

\(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {g^2}(x)\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\\x - 2 \ge \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 3 = 0\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right.\\x \ge 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

a) Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là x (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là 2y (nghìn đồng). Điều kiện: \(x,y \in \mathbb{N}\).

b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là x + 2y \( \le \) 100.

c) Trong một tháng, Bình có thể gọi 50 phút nội mạng và 20 phút ngoại mạng mà số tiền phải trả không đến 100 nghìn đồng.

d) Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất gồm hai ẩn x, y biểu diễn số tiền phải trả cho tổng đài là một hình tam giác.

Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

a) Đúng. Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là x (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là 2y (nghìn đồng). Điều kiện: \(x,y \in \mathbb{N}\).

b) Sai. Vì mỗi tuần Bình chỉ bỏ ra số tiền thấp hơn 100 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

x + 2y < 100.

c) Đúng. Thay cặp số (50;20) vào bất phương trình vừa tìm: \(50 + 2.20 < 100\) (đúng).

Vậy trong một tháng, Bình có thể gọi 50 phút nội mạng và 20 phút ngoại mạng mà số tiền phải trả không đến 100 nghìn đồng.

d) Đúng. Vẽ đường thẳng (d): x + 2y = 100 đi qua hai điểm A(0;50) và B(100;0).

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình: 0 + 2.0 < 100 (đúng) nên O(0;0) thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của x + 2y < 100 là nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm O (phần không gạch chéo).

Kết hợp điều kiện \(x,y \in \mathbb{N}\) ta có miền nghiệm là miền tam giác OAB.

a) \(\alpha = {60^o}\).

b) \(\sin \alpha < 0\).

c) \({\tan ^2}\alpha = 3\).

d) Giá trị biểu thức \(P = 3{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha = \frac{{13}}{4}\).

Sử dụng các đẳng thức lượng giác \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\), \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).

a) Đúng. \(\cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {60^o}\).

b) Sai. Các góc \({0^o} < \alpha < {180^o}\) có giá trị sin dương nên với \({0^o} < \alpha < {90^o}\) thì \(\sin \alpha > 0\).

c) Đúng. \({\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} - 1 = 3\).

d) Sai. Ta có:

\(P = 3{\sin ^2}\alpha + 4{\cos ^2}\alpha = 3(1 - {\cos ^2}\alpha ) + 4{\cos ^2}\alpha = 3 + {\cos ^2}\alpha = 3 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}\).

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right| = AO\).

c) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = 0\).

d) Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = MO\) là một điểm.

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm đối với vecto, quy tắc cộng, trừ hai vecto.

a) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

b) Đúng. O là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {BO} \).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO\).

c) Đúng. O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AO} \).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0\).

d) Sai. Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua A. Khi đó B’ cố định và \(\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {BA} \).

\(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) - \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BB'} } \right| = BB'\).

Suy ra \(BB' = MO\). Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính R = BB’.

a) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 3\).

b) \(2{x^2} + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

c) \(f(x) > 0\), \(\forall x \in ( - \infty ;0) \cup (3; + \infty )\).

d) \(f(x) < 0\), \(\forall x \in (0;3)\).

Tìm nghiệm của f(x), lập bảng xét dấu rồi nhận xét.

Có \({x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

\(f(x) = ( - {x^2} + 3x)(2{x^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x = 0\) (vì \(2{x^2} + 1 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\))

Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm x = 0, x = 3.

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai. Ta có bảng xét dấu:

Theo bảng xét dấu, \(f(x) > 0\), \(\forall x \in (0;3)\).

d) Sai. Theo bảng xét dấu, \(f(x) < 0\), \(\forall x \in ( - \infty ;0) \cup (3; + \infty )\).

Tìm điều kiện để \(A \cap B = \emptyset \), từ đó suy ra điều kiện để \(A \cap B \ne \emptyset \) bằng cách lấy phần bù.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\ - 2 < 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 5\).

Ta có \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 2 \le m - 1\\4 \le - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 3\).

Suy ra \(A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 5\\m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 5\).

Các giá trị nguyên m thỏa mãn là -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có điều kiện \(x,y \ge 0\).

Để sản xuất x sản phẩm I cần 2x máy nhóm A.

Để sản xuất ra y sản phẩm II cần 2y máy nhóm A.

Mà chỉ có 10 máy nhóm A nên \(2x + 2y \le 10\).

Tương tự với các máy nhóm B, C và kết hợp điều kiện, ta được hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y \le 10\\2y \le 4\\2x + 4y \le 12\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 5\\y \le 2\\x + 2y \le 6\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) (*).

Lợi nhuận thu được là f(x;y) = 30x + 50y (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với \(O(0;0)\), \(B(4;1)\), \(C(2;2)\), \(D(0;2)\).

Thay tọa độ các điểm trên vào f(x;y) thấy f(4;1) = 170 là giá trị lớn nhất.

Do đó, cần sản xuất 4 sản phẩm I và 1 sản phẩm II để thu về lợi nhuận cao nhất.

Vậy x – y = 4 – 1 = 3.

B1: Tính các góc của tam giác ABC.

B2: Tính AC bằng định lí Sin cho tam giác ABC.

B3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CAD để tính CD.

+) \(\widehat {BAC} + \widehat {DAC} = {90^o}\)

\(\widehat {BAC} = {90^o} - \widehat {DAC} = {90^o} - {35^o} = {55^o}\).

+) \(\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {ABE} = {15^o} + {90^o} = {105^o}\).

+) Xét tam giác ABC có \(\widehat C = {180^o} - \widehat A - \widehat B = {180^o} - {55^o} - {105^o} = {20^o}\).

Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABC: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{60\sin {{105}^o}}}{{\sin {{20}^o}}}\).

Xét tam giác ACD vuông tại D: \(\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}}\).

Suy ra \(CD = AC\sin \widehat {CAD} = \frac{{60\sin {{105}^o}}}{{\sin {{20}^o}}}\sin {35^o} \approx 97,2\).

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực, quy tắc hình bình hành.

Dựng hình bình hành OACB sao cho OA = OB = 20, \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = {45^o}\) và \(\overrightarrow {OC} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {{F_1}} \).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 20\), \(\left| {\overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = OB = 20\), \(\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_{34}}} = \overrightarrow {OC} \) và \(\left| {\overrightarrow {{F_{34}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|\).

Vì OA = OB nên OACB là hình thoi.

Mà \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} + \widehat {COB} = {45^o} + {45^o} = {90^o}\) nên OACB là hình vuông.

Khi đó \(OC = \sqrt 2 OA = 20\sqrt 2 \).

Vì độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) gấp đôi độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và hai lực này ngược chiều nên \(\overrightarrow {{F_2}} = - 2\overrightarrow {{F_1}} \).

Dưới tác động của 4 lực, vật ở vị trí cân bằng nên ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} - 2\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_{34}}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_{34}}} = \overrightarrow {{F_1}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{34}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 20\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 2.20\sqrt 2 = 40\sqrt 2 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| + \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 20\sqrt 2 + 40\sqrt 2 = 60\sqrt 2 \approx 84,9\) (N).

Lập tam thức bậc hai biểu diễn lợi nhuận của công ty khi sản xuất Q sản phẩm.

Tìm Q để tam thức bậc hai vừa tìm có giá trị không âm.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết Q sản phẩm là:

\(1200Q - ({Q^2} + 300Q + 200000) = - {Q^2} + 900Q - 200000\).

Để xí nghiệp không bị lỗ thì \( - {Q^2} + 900Q - 200000 \ge 0 \Leftrightarrow 400 \le Q \le 500\).

Do đó, để không bị lỗ, xí nghiệp cần sản xuất nhiều hơn hoặc bằng 400 sản phẩm và ít hơn hoặc bằng 500 sản phẩm.

Vậy a + b = 400 + 500 = 900.

Dựng hệ trục tọa độ Oxy một cách phù hợp. Tìm các điểm thuộc parabol, thay tọa độ vào hàm số và tìm hàm số của parabol. Từ đó tìm tọa độ đỉnh của parabol.

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng với cổng Arch là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

Vì parabol đi qua ba điểm A(0;0), B(162;0), M(10;43) nên ta thay tọa độ các điểm trên vào hàm số:

\(\left\{ \begin{array}{l}{0^2}a + 0b + c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\\c=0\end{array} \right.\)

Từ đó ta xác định được hàm số \(y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Đỉnh I của parabol có tọa độ \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 81\), \({y_I} = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 185,6\) (m).