Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 13

a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ A là 2x.

b) Tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ B là y.

c) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y trong tình huống người chơi chiến thắng là \(3x - y \ge 18\).

d) Người chơi chọn được chữ A 8 lần và chọn được chữ B 3 lần thì người đó vừa đủ điểm để chiến thắng trò chơi.

a) \(\cos \alpha < 0\).

b) \({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \frac{1}{3}\).

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

a) \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BG} \).

d) \(\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

a) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 6\end{array} \right.\).

b) Với \(x \in ( - 6; - 1)\) thì \({x^2} + 7x + 6 < 0\).

c) Bảng xét dấu của biểu thức là:

d) Với \(x \in ( - \infty ; - 6) \cup ( - 1;3)\) thì f(x) > 0.

Đọc kĩ mệnh đề và áp dụng quy tắc sử dụng kí hiệu \(\forall \) và \(\exists \).

“Có một số nguyên” tức là tồn tại số nguyên: \(\exists x \in \mathbb{Z}\).

“Số (nguyên) bằng bình phương của chính nó”: \(x = {x^2}\).

Vậy mệnh đề đúng là “\(\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}\)”.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng ().

\(x \in \mathbb{R}\) nên mọi số thực thỏa mãn -3 < x < 1 đều thuộc A. Tập {-3;1} chỉ có 2 giá trị nên A sai.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng. Trong trường hợp này dùng kí hiệu nửa khoảng ở cả hai đầu mút.

Vậy A = (-3;1).

Quan sát dạng (ẩn, bậc) của bất phương trình.

Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Thay tọa độ các điểm vào hệ phương trình, nếu thỏa mãn hệ điểm đó thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ các điểm vào hệ, chỉ có điểm (0;-2) thỏa mãn hệ.

Sử dụng định lí Cosin cho tam giác.

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {120^o} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = {b^2} + {c^2} + bc\).

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).

Các vecto cùng phương có giá song song với nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Dựng hình thỏa mãn đẳng thức trên và nhận xét.

Vì \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \) nên hai vecto trên cùng phương và \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) cùng chiều.

Khi đó A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B, C.

Vậy khẳng định đúng là \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a \).

Biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Để hàm số trên xác định thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ge - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(D = [ - 2; + \infty )\).

Áp dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha \)

\( \Rightarrow \cos \alpha = - 1\)

\( \Rightarrow \alpha = {180^o}\).

Trục đối xứng của đồ thị hàm số có phương trình \(x = - \frac{b}{{2a}}\).

Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) có phương trình \(x = - \frac{{ - 4}}{{2.2}} = 1\).

\(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 2 = x + 1\\x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = 0\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

a) Tổng số điểm người chơi đạt được khi chọn chữ A là 2x.

b) Tổng số điểm người chơi bị trừ khi chọn chữ B là y.

c) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y trong tình huống người chơi chiến thắng là \(3x - y \ge 18\).

d) Người chơi chọn được chữ A 8 lần và chọn được chữ B 3 lần thì người đó vừa đủ điểm để chiến thắng trò chơi.

Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

a) Sai. Vì mỗi lần chọn được chữ A thì được cộng 3 điểm nên sau x lần chọn chữ A, người chơi được 3x điểm.

b) Đúng. Vì mỗi lần chọn được chữ B thì bì trừ 1 điểm nên sau y lần chọn chữ B, người chơi bị trừ y điểm.

c) Sai. Người chơi cần ít nhất 20 điểm để chiến thắng trò chơi nên \(3x - y \ge 20\).

d) Sai. Thay cặp số (8;3) vào bất phương trình được \(3.8 - 1.3 = 21 > 20\).

Vậy người chơi thừa 1 điểm so với điểm tối thiểu để chiến thắng trò chơi.

a) \(\cos \alpha < 0\).

b) \({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \frac{1}{3}\).

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác của các góc.

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha \).

a) Sai. Có \({0^o} < \alpha < {90^o}\) suy ra \(\cos \alpha > 0\).

b) Sai. \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\).

c) Sai. Vì \(\cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

d) Đúng. Ta có: \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

a) \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BG} \).

d) \(\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm đối với vecto, quy tắc cộng, trừ hai vecto.

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) Sai. \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Sai. \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BG} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BG} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} } \right)\)

\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

a) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 6\end{array} \right.\).

b) Với \(x \in ( - 6; - 1)\) thì \({x^2} + 7x + 6 < 0\).

c) Bảng xét dấu của biểu thức là:

d) Với \(x \in ( - \infty ; - 6) \cup ( - 1;3)\) thì f(x) > 0.

Tìm nghiệm và các giá trị x để f(x) không xác định. Từ đó lập bảng xét dấu và nhận xét.

a) Sai. \(f(x) = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 7x + 6}} = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

b) Đúng. \({x^2} + 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 6\end{array} \right.\)

Áp dụng quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”, tức trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a = 1 > 0.

Vậy với \(x \in ( - 6; - 1)\) thì \({x^2} + 7x + 6 < 0\).

c) Đúng. Bảng xét dấu đã cho là chính xác.

d) Sai. Với \(x \in ( - \infty ; - 6) \cup ( - 1;3)\) thì f(x) < 0.

Tìm điều kiện để \(A \cap B = \emptyset \), từ đó suy ra điều kiện để \(A \cap B \ne \emptyset \) bằng cách lấy phần bù.

\(B \ne \emptyset \) khi \(2m < 3m + 1 \Rightarrow m > - 1\).

Ta có \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 5\\3m + 1 < 0\end{array} \right.\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{5}{2}\\ - 1 < m < - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \(A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow m \in \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right)\).

Các giá trị nguyên m thỏa mãn là 0; 1; 2.

Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi x và y lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ mộc sản xuất trong một tuần \((x,y \ge 0)\).

Để làm x cái bàn cần 6x (giờ), làm y cái ghế cần 3y (giờ). Người thợ mộc chỉ có thể làm 40 giờ/tuần nên \(6x + 3y \le 40\).

Số ghế gấp ít nhất ba lần số bàn nên \(y \ge 3x\).

Một cái bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần nên \(x + \frac{4}{y} \le 4\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\x + \frac{y}{4} \le 4\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\4x + y \le 16\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) (*).

Lợi nhuận thu được là f(x;y) = 150x + 50y (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với \(A\left( {\frac{{16}}{7};\frac{{48}}{7}} \right)\), \(B\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{2}} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{40}}{3}} \right)\).

Thay tọa độ các điểm trên vào f(x;y) thấy \(f\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{3}} \right) = \frac{{2200}}{3}\) là giá trị lớn nhất.

Như vậy người thợ này cần sản xuất 4 cái bàn và 32 cái ghế trong vòng 3 tuần để thu về số tiên lãi lớn nhất.

Ta có a + b + c = 4 + 32 + 3 = 39.

B1: Tính các góc của tam giác ABD.

B2: Tính AD bằng định lí Sin cho tam giác ABD.

B3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CAD để tính CD.

+) \(\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = {180^o} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^o} - \widehat {CAD} = {180^o} - {63^o} = {117^o}\).

+) Xét tam giác ABD có \(\widehat D = {180^o} - \widehat A - \widehat B = {180^o} - {117^o} - {48^o} = {15^o}\).

Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABD: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BDA}}} = \frac{{AD}}{{\sin \widehat {ABD}}}\).

Suy ra \(AD = \frac{{AB\sin \widehat {ABD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}\).

Xét tam giác ACD vuông tại C: \(\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}}\).

Suy ra \(CD = AD\sin \widehat {CAD} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}\sin {63^o} \approx 61,4\) (m).

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực, quy tắc hình bình hành.

Dựng hình bình hành AMBD. Vì \(\widehat {AMB} = {90^o}\) nên AMBD là hình vuông.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \).

Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

Từ đó ta suy ra \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {MD} = - \overrightarrow {MC} \). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MC} } \right|\) tức MD = MC.

Vì MD là đường chéo của hình vuông cạnh 100 nên \(MD = 100\sqrt 2 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = 100\sqrt 2 \approx 141\) N.

Dựng hệ trục Oxy một cách phù hợp.

Thay tọa độ các điểm thuộc parabol vào hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) rồi tính hệ số a, b, c.

Tìm giao điểm của parabol với trục Ox và tính khoảng cách giữa hai giao điểm đó.

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

Ta có (P) đi qua các điểm I(0;4), E(2;3), F(-2;3) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 3\\4a - 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm A, B là giao điểm của (P) với trục Ox nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4\).

Do đó A(-4;0) và B(4;0). Suy ra AB = 8.

Lập tam thức bậc hai biểu diễn số tiền vé thu được.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm khoảng mà tam thức bậc hai vừa tìm không âm.

Với số khách là 50, công ty thu về 50.300000 = 15000000 (đồng), ít hơn chi phí thực sự nên công ty lỗ.

Vì vậy, số khách phải lớn hơn 50 để công ty không lỗ.

Với số lượng khách là 50 + x thì mỗi khách sẽ trả một khoản tiền là 300000 – 5000x (đồng).

Khi đó, tổng số tiền công ty thu được là:

\(T(x) = (50 + x)(300000 - 5000x) = - 5000{x^2} + 50000x + 15000000\) (đồng).

f(x) có hai nghiệm phân biệt là 2 và 8. Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta suy ra \(f(x) \ge 0\) khi \(x \in [2;8]\).

Vậy, nếu số khách tối đa là 58 người thì công ty không lỗ khi tổ chức chuyến du lịch.