Đề thi học kì 1 Toán 8 Cánh diều - Đề số 7

Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0.

Đơn thức \(2023x{y^3}{z^4}\) có phần biến là \(x{y^3}{z^4}\) nên bậc là: \(1 + 3 + 4 = 8\).

Đáp án C

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y = a'x + b'\left( {a' \ne 0} \right)\) song song nếu \(a = a',b \ne b'\).

Đồ thị hàm số \(y = - 2x + 3\) song song với đồ thị hàm số \(y = - 2x + 1\) vì hệ số của x bằng nhau (\( = - 2\)) và hệ số tự do khác nhau (\(3 \ne 1\)).

Đáp án A

Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Phân thức \(Q = \frac{{2024}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0\), suy ra \(x \ne 2\).

Đáp án D

Để nhân hai đa thức với nhau, ta nhân lần lượt các hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức kia.

Ta có:

\(\left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 2{x^2} - 4xy + xy - 2{y^2} = 2{x^2} - 3xy - 2{y^2}\)

Đáp án B

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\).

Trong các hàm số trên, chỉ có hàm số \(y = - 4x + 3\) là hàm số bậc nhất.

Đáp án A

Thực hiện phân tích \({x^3} - 1\) theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, sau đó chia cho \(x - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right).P = {x^3} - 1\\\left( {x - 1} \right).P = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\P = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\,}}{{x - 1}}\\P = {x^2} + x + 1\end{array}\)

Đáp án C

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật nên A sai.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B sai.

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên C sai.

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông nên D đúng.

Đáp án D

Thể tích hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\).S_đáy. chiều cao.

Thể tích hình chóp tam giác đều là:

\(\frac{1}{3}.15.8 = 40\left( {c{m^3}} \right)\)

Đáp án D

Dựa vào đặc điểm hình chữ nhật: hai đường chéo bằng nhau.

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau, do đó MP = NQ.

Đáp án B

Sử dụng định lí Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng \(360^\circ \).

Xét tứ giác ABCD có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

Suy ra

\(\begin{array}{c}\widehat D = 360^\circ - \widehat A - \widehat B - \widehat C\\ = 360^\circ - 60^\circ - 70^\circ - 80^\circ \\ = 150^\circ \end{array}\)

Đáp án C

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, khi đó ta tính được độ dài hai cạnh góc vuông OA, OB.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOB, ta tính được AB là cạnh của hình thoi.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, khi đó \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.6 = 3\left( {cm} \right)\); \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.8 = 4\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOB vuông tại O, ta có:

\(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

Suy ra \(AB = 5\left( {cm} \right)\)

Đáp án A

Sử dụng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - a} \right)^2}\) và tính chất \(\frac{{A.M}}{{B.M}} = \frac{A}{B}\) để rút gọn phân thức.

Ta có: \(\frac{{3{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{9\left( {a - b} \right)}} = \frac{{3{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{9\left( {a - b} \right)}} = \frac{{a - b}}{3}\).

Đáp án D

a) Thực hiện quy đồng mẫu để rút gọn P.

b) Kiểm tra xem \(x = 2\) có thỏa mãn điều kiện hay không.

Thay \(x = 2\) vào P để tính giá trị.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + \left( {x + 3x - 6x} \right) + \left( { - 3 + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\end{array}\)

b) Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \ne \pm 1\) của P.

Thay \(x = 2\) vào biểu thức P, ta được:

\(P = \frac{{2 - 1}}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}\)

Vậy với \(x = 2\) thì \(P = \frac{1}{3}\).

a) Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích.

b) Sử dụng kết hợp phương pháp nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \(3{x^2}y - 9x{y^2}\)\( = 3xy\left( {x - 3y} \right)\)

b) \({x^2} - 2x - {y^2} + 2y\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - {y^2} + 2y\\ = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {2x - 2y} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 2\left( {x - y} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 2} \right)\end{array}\)

- Thay tọa độ của K vào hàm số để tìm a.

- Vẽ đồ thị hàm số:

+ Xác định tọa độ hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

+ Vẽ trục tọa độ, xác định hai điểm trên trục tọa độ, vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó, ta được đồ thị hàm số.

Do đồ thị hàm số \(y = ax - 2\) đi qua điểm \(K\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\) nên thay \(x = \frac{1}{2};y = - 1\) vào \(y = ax - 2\) ta được:

\(\begin{array}{l} - 1 = a.\frac{1}{2} - 2\\\frac{1}{2}a = - 1 + 2\\\frac{1}{2}a = 1\\a = 2\end{array}\)

Vậy a = 2 là giá trị cần tìm.

Với a = 2, ta có: \(y = 2x - 2\).

+ Cho \(x = 0\) suy ra \(y = 2.0 - 2 = - 2\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\)

+ Cho \(y = 0\) suy ra \(2x - 2 = 0\), khi đó \(x = 1\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( {1;0} \right)\)

Vẽ đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

1. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông để tính AB. Chiều cao của cây lúc đầu bằng tổng đoạn AB và AC.

2.

a) Chứng minh AMHN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) - Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành suy ra AC // HK và AH = CK.

- Chỉ ra AH = MN (do AMHN là hình chữ nhật) suy ra CK = MN.

c) Chỉ ra D là trọng tâm của tam giác AHC, suy ra AD = \(\frac{2}{3}\) AI.

Chỉ ra \(AI = \frac{1}{2}AK\) nên AK = 3AD.

1.

Xét tam giác ABC vuông tại C. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

suy ra \(AB = 5\left( m \right)\) (vì \(AB > 0\))

Chiều cao của cây lúc đầu là: AC + AB = 4 + 5 = 9 (m).

2.

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \).

Vì \(HM \bot AB\left( {M \in AB} \right)\) \(HN \bot AC\left( {N \in AC} \right)\) nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \).

Tứ giác AMHN có: \(\widehat A = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác AHKC có: HC cắt AK tại I và AI = IK (gt), HI = IC (gt) suy ra tứ giác AHKC là hình bình hành, do đó \(AC//HK\) và AH = CK.

Mà AH = MN (hai đường chéo của hình chữ nhật AMHN bằng nhau) nên MN = CK.

c) Xét tam giác AHC có CO và AI là hai đường trung tuyến và CO cắt AI tại D nên D là trọng tâm của tam giác AHC. Do đó \(AD = \frac{2}{3}AI\) (tính chất của trọng tâm)

Mà \(AI = \frac{1}{2}AK\) (do I là trung điểm của AK)

Do đó \(AD = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) hay \(AK = 3AD\).

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đưa biểu thức về dạng \(A - B\left( x \right) - C\left( x \right)\) với \(B\left( x \right),C\left( x \right)\) là hai biểu thức bậc hai.

Khi đó \(A - B\left( x \right) - C\left( x \right) \le A\), khi đó giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức là A khi \(B\left( x \right) = 0\) và \(C\left( x \right) = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{c}B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\\ = 2024 - 1 - 9 - {x^2} - {x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\\ = 2024 - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 1 - {x^2} - 8x + 2y - 9\\ = 2024 - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - 2x + 2y - 1} \right] - {x^2} - 6x - 9\\ = 2024 - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1} \right] - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\\ = 2024 - {\left( {x - y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2}\end{array}\)

Vì \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y và \({\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \(B = 2024 - {\left( {x - y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} \le 0\) với mọi x, y.

Dấu “=” xảy ra khi \(x + 3 = 0\) và \(x - y + 1 = 0\), suy ra \(x = - 3\) và \(y = - 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của B = 2024 khi \(x = - 3\) và \(y = - 2\).