Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 4 - Cánh diều

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {3x{y^2} - 2{x^2}y + {x^3}} \right):\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\\ = 3x{y^2}:\left( { - \frac{1}{2}x} \right) - 2{x^2}y:\left( { - \frac{1}{2}x} \right) + {x^3}:\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\\ = - 6{y^2} + 4xy - 2{x^2}\end{array}\)

Thay x = -1 ; y = 0,5 vào biểu thức để tính giá trị.

Thay x = -1 ; y = 0,5 vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{( - 1)^3}.0,5 - 14{(0,5)^3} - 6( - 1){(0,5)^2} + 0,5 + 2\\ = - 0,5 - 14.0,125 + 6.0,25 + 0,5 + 2\\ = - 0,5 - 1,75 + 1,5 + 0,5 + 2\\ = 1,75\end{array}\)

Phân thức không có nghĩa khi mẫu thức bằng 0.

Phân thức \(\frac{2}{{x - 3}}\) không có nghĩa khi x – 3 = 0 hay x = 3.

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1.

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{2}{{x - 4}}\) là: \(1:\frac{2}{{x - 4}} = \frac{{x - 4}}{2}\).

Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn.

Ta có: \(\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}}\).

Sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau nên chọn đáp án C.

Dựa vào kiến thức về hình bình hành.

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành nên chọn đáp án C.

Dựa vào kiến thức về các hình đã học.

Những tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là: hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông nên chọn đáp án B.

Sử dụng định lí Pythagore để tính.

Tam giác ABC vuông tại A có AC = 3cm, BC = 5cm. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\ \Rightarrow AB = \sqrt {16} = 4(cm)\end{array}\)

Diện tích của tam giác vuông đó là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\).

Sử dụng tính chất đường trung bình.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, vì tam giác ABC là tam giác đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABI, ta có:

\(\begin{array}{l}A{I^2} = A{B^2} - B{I^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow AI = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)\(\)

\(AO = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) (O là trọng tâm)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOA, ta có:

\(\begin{array}{l}S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{11{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow SO = \sqrt {\frac{{11{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\end{array}\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\left( {\frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a} \right)\\ = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\end{array}\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là:

\({S_{xq}} = \frac{{40}}{2}.12 = 240\left( {c{m^2}} \right)\)

Thay x = 3 vào hàm số.

Với x = 3 thì \(y = {5.3^2} = 45\)(m).

Vậy quãng đường mà vật đó chuyển động được sau 3 giây là 45m.

Quan sát đồ thị để xác định điểm O; K.

Ta có tọa độ điểm O là O(0; 0); tọa độ điểm K là K(2; -1).

Gọi hàm số cần tìm là \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm O(0; 0) và điểm K nên ta có:

\(0 = a.0 + b\)\( \Leftrightarrow \)\(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

\( - 1 = a.2\)\( \Leftrightarrow \)\(a = \frac{{ - 1}}{2}\)\( \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x = y = - 0,5x\).

* Học sinh cũng có thể thay tọa độ điểm O và K vào các hàm số trong đáp án để tìm hàm số.

Dựa vào kiến thức về hệ số góc và hàm số bậc nhất để xác định.

Vì đường thẳng có hệ số góc bằng 2 nên a = 2 => y = 2x + b.

Vì đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) nên 1 = 2.2 + b hay b = -3 => y = 2x - 3.

Dựa vào kiến thức về mặt phẳng tọa độ.

“Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc tọa độ O của mỗi trục. Khi đó ta có hệ trục tọa độ Oxy”

Sử dụng các phép tính với đa thức để rút gọn biểu thức.

a) \(A = 2xy + \frac{1}{2}x.\left( {2x - 4y + 4} \right) - x\left( {x + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2xy + {x^2} - 2xy + 2x - {x^2} - 2x\\ = 0\end{array}\)

Vì A = 0 nên biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\\ = \left( {x + 2 - x + 3} \right)\left( {x + 2 + x - 3} \right) - 10x\\ = 5\left( {2x - 1} \right) - 10x\\ = 10x - 5 - 10x\\ = - 5\end{array}\)

Vì B = -5 nên biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

a) Xác định điều kiện xác định của M. Sử dụng các quy tắc tính của phân thức để rút gọn M.

b) Để phân thức M nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.

a) Ta có: \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\left( {x \ne 0;x \ne - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}:\frac{{2(1 - 3x)}}{{3x}}\\ = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{3x}}{{2\left( {1 - 3x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\).

b) Ta có: \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}} = \frac{{3x + 6 - 5}}{{x + 2}} = 3 - \frac{5}{{x + 2}}\)

Để M nguyên thì \(\frac{5}{{x + 2}}\) nguyên, hay \(\left( {x + 2} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 2; - 7;3} \right\}\) thì M có giá trị nguyên.

a) Thay x = 0 và y = 100; x = 3600 và y = 87 vào hàm số y = ax + b để xác định a và b.

b) Thay x = 1500 m để tính nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này.

a) Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển (x = 0m) thì nước có nhiệt độ số là y = \({100^0}C\) nên (0; 100) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b => 100 = a.0 + b hay b = 100 => y = ax + 100.

Thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao x = 3600 m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là y = \({87^0}C\) nên (3600; 87) thuộc đồ thị hàm số y = ax + 100 => 87 = a.3600 + 100 => a = \( - \frac{{13}}{{3600}}\).

Do đó \(y = - \frac{{13}}{{3600}}x + 100\).

b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển nên x = 1500. Thay x = 1500, ta được:

\(y = - \frac{{13}}{{3600}}.1500 + 100 \approx 95\left( {^0C} \right)\).

1. Dựa vào định lí Pythagore và công thức tính thể tích giá đèn cầy để tính.

2.

a) Tứ giác \(ABKH\) là hình chữ nhật.

b) \(\Delta ADH = \Delta BKC\) (ch - gn).

Nên suy ra \(DH = KC\).

c) Dễ thấy \(HE + EK = EK + KC\) \( \Rightarrow \) \(AB = EC\). Do đó, \(ABCE\) là hình bình hành.

1. 

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {14^2} + {14^2} = 128\) suy ra \(AC = \sqrt {128} = 14\sqrt 2 (cm)\)

Do đó \(AO = \frac{{14\sqrt 2 }}{2} = 7\sqrt 2 (cm)\)

Xét tam giác SAO vuông tại O, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {17\sqrt 2 } \right)^2} - {\left( {7\sqrt 2 } \right)^2} = 480\)

suy ra \(SO = 4\sqrt {30}(cm)\)

Thể tích giá đèn cầy S.ABCD là:

\(V = \frac{1}{3}{.4\sqrt {30}.14^2} \approx 1431\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích giá đèn cầy là 1431cm³.

2. 

a) Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang cân), AH \( \bot \) CD => AH \( \bot \) AB => \(\widehat {BAH} = {90^0}\).

Xét tứ giác ABKH có: \(\widehat {BAH} = {90^0};\widehat H = {90^0};\widehat K = {90^0}\) suy ra ABKH là hình chữ nhật.

b) ABKH là hình chữ nhật => AH = BK.

ABCD là hình thang cân nên AD = BC.

Xét tam giác AHD và BKC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AH = BK(cmt)\\\widehat H = \widehat K = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC(ch - cgv)\)

=> DH = CK. (đpcm)

c) Ta có: AB = HK (ABKH là hình chữ nhật)

Ta có E đối xứng với D qua H => DH = HE => HK = HE + EK = DH + EK = KC + EK = EC.

=> AB = EC.

Mà AB // CE, do đó ABCE là hình bình hành.

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Ta có: \(4{x^2} - 12x + 15 = \left( {4{x^2} - 2.2x.3 + 9} \right) + 6 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 6\).

Vì \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 6 \ge 6,\forall x \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

\(\min A = 6 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 6 khi \(x = \frac{3}{2}\).