Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 2 - Cánh diều

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).

Phương trình \(3x - y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương trình \(2y + 1 = 0\) là phương trình bậc nhất ẩn y với \(a = 2\) nên ta chọn đáp án B.

Phương trình \(4 + 0.x = 0\)có a = 0 nên không phải phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình \(3{x^2} = 8\) là phương trình bậc hai.

Đáp án B.

Thay \(x = - 3\) vào phương trình để tìm m.

Thay \(x = - 3\) vào phương trình \(3x + m - x - 1 = 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3.\left( { - 3} \right) + m - \left( { - 3} \right) - 1 = 0\\ - 9 + m + 3 - 1 = 0\\m - 7 = 0\\m = 7\end{array}\)

Đáp án C.

Biểu diễn thời gian đi của ô tô theo x.

Vì ô tô đi từ A đến B lúc 6 giờ sáng còn xe khách đi từ A đến B lúc 7 giờ sáng và hai xe đến B cùng lúc nên thời gian ô tô đi từ A đến B là x + (7 – 6) = x + 1 (giờ)

Đáp án A.

Biểu diễn các đại lượng qua x.

Tuổi của Phương năm nay là x (tuổi)

Tuổi của mẹ Phương năm nay là 3x (tuổi)

Tuổi của Phương sau 13 năm là x + 13 (tuổi)

Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm là 3x + 13 (tuổi)

Vì sau năm tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình \(3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\)

Đáp án A.

Thay C = 10 để tìm F.

Thay C = 10 vào công thức, ta được:

\(\begin{array}{l}10 = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\\18 = F - 32\\F = 18 + 32\\F = 50\end{array}\)

Đáp án A.

Tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng.

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}\) nên tỉ số hai đường cao tương ứng cũng là \(\frac{1}{2}\).

Đáp án A.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ suy ra số đo góc M.

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ và $\Delta DEF\backsim \Delta MNP$ suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ suy ra \(\widehat M = \widehat A = {30^0}\).

Đáp án A.

Dựa vào hệ số tỉ lệ của hai tam giác để tính chu vi tam giác ABC.

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA nên $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo hệ số tỉ lệ là 2.

Do đó \({C_{\Delta ABC}} = 2{C_{\Delta MNP}} = 2.12 = 24\left( {cm} \right)\).

Đáp án B.

Xác định các tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cạnh.

Ta có:

$\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC$ nên khẳng định (1) sai.

$\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=CH.BC$ nên khẳng định (2) đúng.

Khẳng định (3) sai.

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng (khẳng định (2)).

Đáp án B.

Dựa vào tính chất của hình bình hành và các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông để xác định.

Hình bình hành ABCD có \(\widehat B = \widehat D\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKB\) có:

\(\widehat H = \widehat K\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat B = \widehat D\)

suy ra \(\Delta AHD\backsim \Delta AKB\left( gg \right)\)

Các đỉnh tương ứng là: 2 đỉnh A, đỉnh D và đỉnh B, đỉnh H và đỉnh K nên đáp án C đúng.

Đáp án C.

Tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật bằng tỉ số giữa độ dài của mô hình với vật thật.

Ta có: 2,4m = 240 cm

Vậy tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật là: \(\frac{{12}}{{240}} = \frac{1}{{20}}\).

Đáp án A.

Xác định đúng các đỉnh của hai hình để nối được tâm phối cảnh của hai hình bên.

Trong các hình trên, chỉ có hình 1 biểu diễn đúng tâm phối cảnh của cặp hình đồng dạng này.

Đáp án A.

a, b) Đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

c, d) Quy đồng bỏ mẫu đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

a) \(x + 2 = - 6x + 16\)

\(\begin{array}{l}x + 6x = 16 - 2\\7x = 14\\x = 2\end{array}\)

Vậy \(x = 2\)

b) \(2\left( {x - 3} \right) = 5\left( {x - 2} \right) + 8\)

\(\begin{array}{l}2x - 6 = 5x - 10 + 8\\2x - 6 = 5x - 2\\2x - 5x = - 2 + 6\\ - 3x = 4\\x = - \frac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \(x = - \frac{4}{3}\)

c) \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 3}}{7} = 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{63}} + \frac{{9\left( {x - 3} \right)}}{{63}} = \frac{{2.63}}{{63}}\\7\left( {x - 1} \right) + 9\left( {x - 3} \right) = 2.63\\7x - 7 + 9x - 27 = 126\\7x + 9x = 126 + 27 + 7\\16x = 160\\x = 10\end{array}\)

Vậy \(x = 10\)

d) \(\frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3x - 2}}{2} = \frac{1}{6}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {3x - 2} \right)}}{6} = \frac{1}{6}\\2\left( {2x + 1} \right) + 3\left( {3x - 2} \right) = 1\\4x + 2 + 9x - 6 = 1\\13x = 1 + 6 - 2\\13x = 5\\x = \frac{5}{{13}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{5}{{13}}\)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi năng suất dự kiến của tổ sản suất là x (chiếc thảm) (\(x \in N*\)).

Biểu diễn năng suất thực tế và số thảm làm được theo x và lập phương trình.

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Gọi năng suất của tổ sản suất là x (chiếc thảm) (\(x \in N*\)).

Khi đó năng suất thực tế của tổ là: \(x + 20\% x = 120\% x = 1,2x\)

Số thảm tổ cần dệt là: 20x (chiếc thảm)

Số thảm tổ làm được là: \(18.1,2x = 21,6x\).

Vì tổ còn làm thêm được 24 chiếc thảm so với số thảm được giao nên ta có phương trình:

\(20x + 24 = 21,6x\)

Giải phương trình ta được \(x = 15\)(TM)

Vậy số thảm thực tế tổ sản xuất làm được là: \(21,6.15 = 324\) chiếc thảm.

- Theo đề bài vẽ lại hình và đặt tên các điểm.

- Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra các tỉ số đồng dạng để tính độ cao của h.

Ta có: AB // CD nên \(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) và \(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CDE\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\\\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\end{array}\)

Suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta CDE$ (gg)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{3}{5}\)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}\)

Xét \(\Delta CFE\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat C\) chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {EFC}\)

suy ra $\Delta CFE\backsim \Delta CBA$ (g.g)

suy ra \(\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}\). Do đó \(EF = \frac{3}{8}.AB = \frac{3}{8}.5 = \frac{{15}}{8}\) (m)

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ suy ra tỉ số đồng dạng, ta được điều phải chứng minh.

c) Chứng minh BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung diểm của BC nên I là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = {90^0}\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g) (đpcm)

b) Ta có DE // AB nên \(\widehat {HED} = \widehat {ABE}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {ACF} = \widehat {ABE}\) (do $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$)

suy ra \(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat H\) chung

\(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ (g.g)

suy ra \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HE}}\) hay \(H{E^2} = HD.HC\) (đpcm)

c) Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (gt)

BK // HC (gt)

suy ra BHCK là hình bình hành.

Suy ra BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng (đpcm).

Quy đồng mẫu các phân thức của biểu thức M.

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z.

Thay vào M ta được \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\).

Từ a + b + c = 6 suy ra x + y + z = 0

Biến đổi để tính M.

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z, biểu thức \(M\) trở thành:

\(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\)

Mặt khác, từ a + b + c = 6 suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\) hay \(x + y + z = 0\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}x + y = - z\\{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\end{array}\)

Thay vào M ta được:

\(M = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3\)

Vậy \(M = 3\).