Đề thi học kì 1 Toán 8 Cánh diều - Đề số 8

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của những số và biến.

Đơn thức nhiều biến là \(12{x^2}y\).

Đáp án B

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\).

Đáp án D

Sử dụng kiến thức về hai phân thức bằng nhau:

Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau nếu A.D = B.C

Ta có: \(3x.14y = 42xy = 6x.7y\) nên \(\frac{{3x}}{{7y}} = \frac{{6x}}{{14y}}\).

Đáp án A

Sử dụng tính chất của phân thức để rút gọn: \(\frac{{A.M}}{{B.M}} = \frac{A}{B}\)

Ta có:

\(\frac{{5x\left( {x + 3} \right)}}{{10\left( {x + 3} \right)}} = \frac{x}{2}\)

Đáp án B

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Mẫu thức chung của hai phân thức là: \(x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\).

Đáp án C

Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: ta giữ nguyên mẫu thức và cộng các tử thức với nhau.

Ta có: \(\frac{x}{{x + 5}} + \frac{3}{{x + 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 5}}\)

Đáp án A

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\).

Trong các hàm số trên, chỉ có hàm số \(y = 2x\) là hàm số bậc nhất.

Đáp án B

Quan sát mặt phẳng tọa độ để xác định tọa độ các điểm.

Tọa độ điểm D là D(1;-2) nên A sai.

Tọa độ điểm E là E(-2;1) nên B đúng.

Tọa độ điểm F là F(0;-3) nên C đúng.

Tọa độ điểm G là G(-3;0) nên D đúng.

Đáp án A

Dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình đã học.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông là khẳng định đúng nên A đúng.

- Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang là khẳng định đúng nên B đúng.

- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật là khẳng định đúng nên C đúng.

- Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình thang cân hoặc hình bình hành nên khẳng định D sai.

Đáp án D

Dựa vào các góc trong tứ giác AEDF để xác định xem AEDF là hình gì.

Tứ giác AEDF có \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \) nên AEDF là hình chữ nhật.

Tam giác vuông AED vuông tại E có \(\widehat {EAD} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân, khi đó AE = ED.

Hình chữ nhật AEDF có AE = ED nên là hình vuông.

Đáp án A

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tứ giác đều để xác định.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên là các tam giác cân và một mặt đáy là hình vuông nên hình c ghép được thành hình chóp tứ giác đều.

Đáp án B

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành:

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

- Hình a là tứ giác có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

- Hình b là tứ giác có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

- Hình c là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

- Hình d chưa đủ điều kiện để là một hình bình hành (hai góc đối nhau không bằng nhau và chỉ có một cặp cạnh đối bằng nhau).

Đáp án D

a) Thực hiện nhân đơn thức với đa thức và thực hiện cộng trừ để rút gọn.

b) Thực hiện cộng hai phân thức cùng mẫu: cộng tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

c) Thực hiện trừ hai phân thức khác mẫu: quy đồng mẫu, thực hiện trừ tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

a) \(x\left( {x - 3} \right) - {x^2}\)\( = {x^2} - 3x - {x^2} = - 3x\)

b) \(\frac{{4x + 1}}{{3x{y^2}}} + \frac{{2x - 1}}{{3x{y^2}}}\)\( = \frac{{4x + 1 + 2x - 1}}{{3x{y^2}}}\)\( = \frac{{6x}}{{3x{y^2}}}\)\( = \frac{2}{{{y^2}}}\)

c) \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}}\)\( = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{x}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \frac{1}{x}\)

a) Điều kiện để phân thức xác định là mẫu thức khác 0.

b) Sử dụng tính chất: \(\frac{{A.M}}{{B.M}} = \frac{A}{B}\) để rút gọn.

Kiểm tra xem \(x = 2\) có thỏa mãn điều kiện xác định không, nếu có, thay \(x = 2\) vào để tìm giá trị của phân thức.

a) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 9}}\) là: \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \({x^2} \ne 9\) suy ra \(x \ne \pm 3\).

b) +) Ta có: \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{x}{{x + 3}}\)

+) Với \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne \pm 3\)) nên giá trị của phân thức tại \(x = 2\) là:

\(\frac{2}{{2 + 3}} = \frac{2}{5}\).

a) Dựa vào đề bài xác định số tiền bạn An mua vở.

Tổng số tiền bạn An phải chi trả bao gồm tiền mua vở và phí gửi xe.

Nếu \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) thì y là hàm số bậc nhất của x.

b) Thay \(y = 90\,000\) để tính số quyển vở bạn An mua được nhiều nhất.

a) Bạn An mua \(x\) quyển vở nên số tiền mua vở là: \(7000x\) (đồng)

Khi đó, số tiền \(y\) mà bạn An phải chi trả cho một lần mua vở ở nhà sách là: \(y = 7000x + 5000\).

Vậy \(y\) là hàm số bậc nhất của \(x\).

b) Số tiền bạn An mang theo là 90 000 đồng nên thay \(y = 90000\) vào hàm số, ta được:

\(90000 = 7000x + 5000\)

\(7000x = 90000 - 5000\)

\(7000x = 85000\)

\(x \approx 12,1\)

Vậy bạn An mua được nhiều nhất 12 quyển vở.

a) Chứng minh ABKC là hình bình hành có một góc vuông.

b) Chứng minh tam giác AIB cân tại I nên ID là đường cao của tam giác AIB.

Từ đó chứng minh BDIE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) nên DI = BE.

Mà E là trung điểm của BK nên suy ra \(DI = \frac{1}{2}BK\).

c) Gọi L là trung điểm của FG. Chứng minh DH // BL và và BL // EJ nên DH // EJ.

a) Xét tứ giác ABKC có:

AK và BC cắt nhau tại I

I là trung điểm của AK ( K đối xứng với A qua I)

I là trung điểm của BC

Suy ra ABKC là hình bình hành

Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \), suy ra ABKC là hình chữ nhật.

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AI = IB, suy ra tam giác AIB cân tại I.

Vì D là trung điểm của AB nên ID là đường trung tuyến của tam giác AIB, do đó ID đồng thời là đường cao của tam giác AIB nên \(ID \bot AB\) hay \(\widehat {IDB} = 90^\circ \).

Chứng minh tương tự ta có \(IE \bot BK\) hay \(\widehat {BEI} = 90^\circ \).

ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {DBE} = 90^\circ \).

Xét tứ giác BDIE, ta có:

\(\widehat {IDB} = \widehat {DBE} = \widehat {BEI} = 90^\circ \) nên BDIE là hình chữ nhật. Do đó ID = BE.

Mà BE = EK = \(\frac{1}{2}\)BK nên ID = \(\frac{1}{2}\)BK.

c) Xét tam giác vuông FDI có H là trung điểm của FI nên DH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác FDI.

Do đó DH = FH, suy ra tam giác DHF cân tại H. Từ đó suy ra \(\widehat {DFH} = \widehat {FDH}\) (1).

Chứng minh tương tự, ta có tam giác FLB cân tại L, suy ra \(\widehat {BFL} = \widehat {FBL}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {FDH} = \widehat {FBL}\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // BL (3).

Chứng minh tương tự, ta được BL // EJ (4).

Từ (3) và (4) suy ra DH // EJ.

Biến đổi mẫu thức để đánh giá phân thức sao cho \(A\left( x \right) \le M\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức là M, giải để tìm x.

Ta có: \(4{x^2} - 12x + 14 = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3 + 9 + 5 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 5\)

Vì \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 5 \ge 5\)

Do đó \(A = \frac{5}{{4{x^2} - 12x + 14}} = \frac{5}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} + 5}} \le \frac{5}{5} = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 3 = 0\) suy ra \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức A là 1 khi \(x = \frac{3}{2}\).