Trắc nghiệm Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7 Chân trời sáng tạo

• A.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(AEF\) có cùng trọng tâm

• B.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(AEC\) có cùng trọng tâm

• C.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(ABF\) có cùng trọng tâm

• D.

  Hai tam giác \(AEM\) và \(AMF\) có cùng trọng tâm

• A.

  \(IH//MN;IH = MN\)

• B.

  \(IH//MN;IH < MN\)

• C.

  \(IH//MN;IH > MN\)

• D.

  \(IH//MN;IH = 2MN\)

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  \(\dfrac{1}{3}\)

• D.

  \(\dfrac{2}{3}\)

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  \(\dfrac{1}{3}\)

• D.

  \(\dfrac{2}{3}\)

• A.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(AEF\) có cùng trọng tâm

• B.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(AEC\) có cùng trọng tâm

• C.

  Hai tam giác \(ABC\) và \(ABF\) có cùng trọng tâm

• D.

  Hai tam giác \(AEM\) và \(AMF\) có cùng trọng tâm

• A.

  \(IH//MN;IH = MN\)

• B.

  \(IH//MN;IH < MN\)

• C.

  \(IH//MN;IH > MN\)

• D.

  \(IH//MN;IH = 2MN\)

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).

Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$ là trung điểm của $NP,$ suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)

\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)

Từ đó suy ra

\({S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = 3.8 = 24\,c{m^2}\)

+) Sử dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh của tam giác vuông

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tính độ dài cạnh theo đề bài yêu cầu

\(\Delta ABC\)vuông tại $A$ nên theo định lí Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \(\Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 144\)\( \Rightarrow AC = 12\,cm\)

Ta có $AM,BN,CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AB.$

$ \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$ vuông tại $A$ ta có: $A{B^2} + A{N^2} = B{N^2} $ $\Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61$$ \Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm$

\(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE\) \(\left( 1 \right)\)

\(K\) là trọng tâm tam giác \(ACE\) nên \(EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(IK = \dfrac{1}{3}BE\) từ đó \(BI = EK = IK\) .

+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Trong \(\Delta GBC\) ta có \(BG + CG > BC\)

Ta lại có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) (tính chất các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\))

Từ đó \(\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\)\( \Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.\)

+ Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tính \(BG;CG.\)

+ Sử dụng định lý Pytago để tính cạnh \(BC.\)

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) là \(G\) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\)

Mà \(BD = 9\,cm;\,CE = 12\,cm\) nên \(BG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm;\,CG = \dfrac{2}{3}.12\,cm = 8\,cm.\)

Xét tam giác \(BGC\) vuông tại $G,$ theo định lý Pytago ta có

\(B{C^2} = B{G^2} + C{G^2}\)

\(B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(BC = 10\,cm.\)

Vậy \(BC = 10\,cm.\)

+ Sử dụng tính chất về đường trung tuyến của tam giác

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\)

+ Từ đó suy ra tính chất của tam giác \(ABC.\)

Hai đường trung tuyến \(BD;CE\) cắt nhau tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE \Rightarrow \)\(BG = CG.\) Từ đó \(BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE\)

Xét tam giác \(BGE\) và tam giác \(CGD\) có

+ \(BG = CG\)

+ \(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\) (đối đỉnh)

+ \(GD = GE\)

Nên \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\) do đó \(AB = AC\) hay tam giác $ABC$ cân tại \(A.\) 

Chứng minh $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Kết hợp với $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều) ta được $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Chứng minh \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = CF$

Chứng minh \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = AD$

Do đó $AD = BE = CF$

Sử dụng tính chất của trọng tâm của tam giác để chứng minh $GA = GB = GC.$

Các tia $AG,BG$ và $CG$ cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) ta có: $AB = AC;$ \(\widehat A\) chung; $AE = AF.$

Vậy \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

\(GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF\)

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm.$

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  \(\dfrac{1}{3}\)

• D.

  \(\dfrac{2}{3}\)

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  \(\dfrac{1}{3}\)

• D.

  \(\dfrac{2}{3}\)

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Số cần điền là \(\dfrac{2}{3}.\)

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến.

“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.