Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng - Vở thực hành Toán 9

Trong hình học lớp 9, việc hiểu rõ các hệ thức lượng trong tam giác vuông là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác. Bài 12 của Vở thực hành Toán 9 Tập 1 tập trung vào việc khám phá và ứng dụng các hệ thức này.

I. Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có các hệ thức lượng sau:

1. Định lý Pytago: AB² + AC² = BC². Đây là hệ thức cơ bản nhất, thể hiện mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông.
2. Hệ thức giữa cạnh và hình chiếu: AB² = BH.BC và AC² = CH.BC, trong đó H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
3. Hệ thức giữa đường cao và các đoạn thẳng trên cạnh huyền: AH² = BH.CH.
4. Hệ thức giữa các cạnh và đường cao: 1/AH² = 1/AB² + 1/AC².

II. Ứng dụng của các hệ thức lượng

Các hệ thức lượng trên có nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là:

• Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông khi biết một số cạnh hoặc góc.
• Chứng minh các đẳng thức hình học.
• Giải các bài toán thực tế liên quan đến chiều cao, khoảng cách.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC và đường cao AH.

Giải:

Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm.

Diện tích tam giác ABC là: S = (1/2)AB.AC = (1/2).3.4 = 6cm².

Mặt khác, S = (1/2)BC.AH => AH = (2S)/BC = (2.6)/5 = 2.4cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, BH = 4cm. Tính AB, AC, BC.

Giải:

Áp dụng hệ thức AH² = BH.CH => CH = AH²/BH = 6²/4 = 9cm.

BC = BH + CH = 4 + 9 = 13cm.

Áp dụng hệ thức AB² = BH.BC = 4.13 = 52 => AB = √52 = 2√13 cm.

Áp dụng hệ thức AC² = CH.BC = 9.13 = 117 => AC = √117 = 3√13 cm.

III. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, học sinh cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong Vở thực hành Toán 9 và các tài liệu tham khảo khác. Chú trọng việc hiểu rõ bản chất của từng hệ thức và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán cụ thể.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Tính BC và đường cao AH.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 10cm. Tính BH, CH, AB, AC.

Bài tập 3: Một cột điện cao 8m, có một sợi dây cáp được căng từ đỉnh cột xuống đất, tạo với mặt đất một góc 60^o. Tính chiều dài sợi dây cáp.

IV. Kết luận

Bài 12 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về hệ thức lượng trong tam giác vuông. Việc nắm vững các hệ thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong chương trình học mà còn là nền tảng cho việc học các môn học khác liên quan đến hình học và ứng dụng thực tế.