Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

I. Khái niệm về lũy thừa với số mũ thực

Trong chương trình Toán 11, khái niệm lũy thừa với số mũ thực được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên. Nếu a là một số thực dương và α là một số thực bất kỳ, thì lũy thừa của a mũ α, ký hiệu là a^α, được định nghĩa là một số thực duy nhất thỏa mãn:

• a⁰ = 1
• a^α = e^αln(a)

Trong đó, e là cơ số của logarit tự nhiên (e ≈ 2.71828) và ln(a) là logarit tự nhiên của a.

II. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực tuân theo các tính chất tương tự như lũy thừa với số mũ nguyên, nhưng cần lưu ý một số điểm sau:

1. Lũy thừa của một tích: (ab)^α = a^αb^α (với a, b > 0)
2. Lũy thừa của một thương: (a/b)^α = a^α/b^α (với a, b > 0)
3. Lũy thừa của một lũy thừa: (a^β)^α = a^βα (với a > 0)
4. Lũy thừa với số mũ âm: a^-α = 1/a^α (với a > 0)
5. Lũy thừa với số mũ bằng 0: a⁰ = 1 (với a ≠ 0)

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính 2^1.5

Giải: 2^1.5 = 2^3/2 = √(2³) = √8 = 2√2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức (3²)^0.5

Giải: (3²)^0.5 = 3^2*0.5 = 3¹ = 3

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính 5^0.2

Bài 2: Rút gọn biểu thức (4^1/2)³

Bài 3: Giải phương trình 2^x = 8

V. Lưu ý quan trọng

Khi làm việc với lũy thừa với số mũ thực, cần chú ý đến điều kiện của cơ số (a > 0) và các tính chất của lũy thừa để đảm bảo tính đúng đắn của kết quả. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ thực là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.

VI. Mở rộng kiến thức

Lũy thừa với số mũ thực có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như tài chính, vật lý, sinh học,... Ví dụ, trong tài chính, lãi kép được tính bằng công thức lũy thừa. Trong vật lý, sự phân rã phóng xạ được mô tả bằng hàm số mũ. Việc nắm vững kiến thức về lũy thừa với số mũ thực giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng tự nhiên và ứng dụng toán học vào thực tế.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã có cái nhìn tổng quan về Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!