Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = - 8.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đưa 2 vế về cùng số mũ thì cơ số bằng nhau.

Câu hỏi: dựa vào khái niệm căn bậc chẵn của một số.

Lời giải chi tiết:

a) \({x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow x = \pm 2\)

b) \({x^3} = - 8 = {\left( { - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x = - 2.\)

Câu hỏi:

Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.

Tính:

a) \(\sqrt[3]{{ - 125}}\);

b) \(\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}}.\)

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{{ - 125}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 5} \right)}^3}}} = - 5.\)

b) \(\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^4}}} = \frac{1}{3}.\)

a) Tính và so sánh: \(\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}}\) và \(\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}.\)

b) Tính và so sánh: \(\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}}\) và \(\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.\)

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}.\sqrt[3]{{{3^3}}} = - 2.3 = - 6\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}} = \sqrt[3]{{ - 216}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 6} \right)}^3}}} = - 6\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}\end{array}\)

b) \(\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{3^3}}}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.\end{array}\)

Tính:

a) \(\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}};\)

b) \(\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}};{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}} = \sqrt[3]{{\frac{5}{{625}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{125}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}}} = \frac{1}{5}.\)

b) \(\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }} = \sqrt[5]{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^5}}} = - \sqrt 5 \)

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{1}{n}}}\) sao cho \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.\)

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{m}{n}}},\) với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.\)

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\)

Câu hỏi: Lấy ví dụ để chứng minh nếu \( a \le 0\) dẫn đến mâu thuẫn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\) mà \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a\) nên \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)

b) Theo câu a ta có \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) mà \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}\) nên \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Câu hỏi: 

+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.

Xét lũy thừa $(-1)^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1$

Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$.

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$$ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1 $

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$

Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}} = xy.\)