Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Giải chi tiết

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác. Tâm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác được gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ký hiệu là R.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác:

• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác. Tâm này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
• Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là bán kính đường tròn nội tiếp, ký hiệu là r.

II. Các định lý quan trọng

1. Định lý về mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và các cạnh của tam giác:

Trong một tam giác ABC, ta có:

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.
• A, B, C là các góc của tam giác.
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

2. Định lý về mối quan hệ giữa đường tròn nội tiếp và diện tích của tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính bằng:

S = pr

Trong đó:

• S là diện tích tam giác.
• p là nửa chu vi của tam giác (p = (a + b + c) / 2).
• r là bán kính đường tròn nội tiếp.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

Vì 3² + 4² = 5² nên tam giác ABC vuông tại B.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền:

R = AC / 2 = 5 / 2 = 2.5cm

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6cm

Diện tích tam giác ABC là:

S = (1/2) * AB * BC = (1/2) * 3 * 4 = 6cm2

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

r = S / p = 6 / 6 = 1cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A = 60^o, góc B = 45^o, cạnh AB = 10cm. Tính độ dài cạnh AC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Giải:

Góc C = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o

Áp dụng định lý sin:

AC / sinB = AB / sinC

AC = AB * sinB / sinC = 10 * sin45o / sin75o ≈ 7.32cm

2R = AB / sinC = 10 / sin75o ≈ 10.35cm

R ≈ 5.18cm

IV. Luyện tập

Các em hãy tự giải thêm các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập để nắm vững kiến thức về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác.

Loigiai.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học tốt môn Toán 9. Chúc các em thành công!