Bài 29. Tứ giác nội tiếp

I. Khái niệm tứ giác nội tiếp

Một tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Định lý 1: Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180^o thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Định lý 2: Nếu một tứ giác nội tiếp thì tổng mỗi cặp góc đối diện bằng 180^o.

Hệ quả: Trong một tứ giác nội tiếp, góc tạo bởi tia phân giác của hai góc đối diện và giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên sẽ bằng 90^o.

II. Liên hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung

Định lý 3: Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Định lý 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

III. Bài tập áp dụng

1. Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80^o, ∠C = 100^o. Tính ∠B và ∠D.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm thuộc cung BC không chứa A. Tính ∠BMA biết ∠BAC = 40^o.
3. Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của ∠BAC.

IV. Lời giải chi tiết các bài tập

Bài 1: Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên ∠A + ∠C = 180^o và ∠B + ∠D = 180^o. Ta có ∠A = 80^o, ∠C = 100^o. Do đó, ∠A + ∠C = 80^o + 100^o = 180^o (đúng). ∠B + ∠D = 180^o. Vậy ∠B và ∠D có thể có nhiều giá trị khác nhau, miễn là tổng của chúng bằng 180^o.

Bài 2: ∠BMA là góc nội tiếp chắn cung BC. ∠BAC là góc nội tiếp cùng chắn cung BC. Do đó, ∠BMA = ∠BAC = 40^o.

Bài 3: Xét tam giác ABC, M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến. Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C nên OB ⊥ AB và OC ⊥ AC. Xét tứ giác ABOC, ta có ∠ABO = ∠ACO = 90^o. Do đó, ∠BOC = 360^o - ∠ABO - ∠ACO - ∠BAC = 360^o - 90^o - 90^o - ∠BAC = 180^o - ∠BAC. Xét tam giác BOC, OB = OC (bán kính) nên tam giác BOC cân tại O. Suy ra ∠OBC = ∠OCB = (180^o - ∠BOC)/2 = (180^o - (180^o - ∠BAC))/2 = ∠BAC/2. Xét tam giác ABM và ACM, ta có AB = AC (tiếp tuyến từ A đến đường tròn), BM = CM (M là trung điểm của BC), AM là cạnh chung. Do đó, tam giác ABM = tam giác ACM (c-g-c). Suy ra ∠BAM = ∠CAM. Vậy AM là phân giác của ∠BAC.

V. Kết luận

Bài 29 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về tứ giác nội tiếp, các định lý liên quan và ứng dụng của chúng trong giải toán. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài tập liên quan một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các em học tốt!