Bài 6. Vectơ trong không gian

Bài 6. Vectơ trong không gian - Giải Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Bài 6 trong chương 2 của sách Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu vectơ trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đặt nền móng cho việc hiểu các khái niệm hình học không gian phức tạp hơn.

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Một vectơ trong không gian ba chiều được xác định bởi độ dài và hướng. Nó được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng, với điểm đầu và điểm cuối. Vectơ thường được ký hiệu bằng chữ in hoa và được biểu diễn bằng tọa độ (x; y; z).

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, vectơ trong không gian cũng có các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực. Các phép toán này tuân theo các quy tắc sau:

• Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), thì a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), thì a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)
• Phép nhân với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k, thì ka = (kx; ky; kz)

III. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, như tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (0; -3; 2). Tính a + b và a.b.

Giải:

• a + b = (1 + 0; 2 - 3; -1 + 2) = (1; -1; 1)
• a.b = (1)(0) + (2)(-3) + (-1)(2) = 0 - 6 - 2 = -8

Bài 2: Tìm góc giữa hai vectơ u = (2; 1; 1) và v = (1; -1; 0).

Giải:

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:

cos θ = (u.v) / (|u||v|)

u.v = (2)(1) + (1)(-1) + (1)(0) = 1

|u| = √(2² + 1² + 1²) = √6

|v| = √(1² + (-1)² + 0²) = √2

cos θ = 1 / (√6 * √2) = 1 / √12 = √3 / 6

Vậy θ = arccos(√3 / 6)

V. Kết luận

Bài 6. Vectơ trong không gian cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về vectơ trong không gian ba chiều. Việc nắm vững các khái niệm và phép toán trên vectơ sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.