Loigiai.com.vn - Giải Bài Tập 2.11 Trang 59 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 2.11, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ({45^0}), hãy tính: a) (overrightarrow a .overrightarrow b ); b) (left( {overrightarrow a + 3overrightarrow b } right).left( {overrightarrow a - 2overrightarrow b } right)) c) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}).

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là \({45^0}\), hãy tính:a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \);b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\)c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1.1.\cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b - 6{\overrightarrow b ^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6.1 = - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 1 + 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục sgk toán 12 trên nền tảng toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Đạo hàm và ứng dụng

Bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Bài toán này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung bài tập 2.11

Bài tập 2.11 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 2.11

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của đạo hàm bậc hai f''(x):

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

f(0) = 2

f(2) = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, hàm số có điểm cực đại là (0; 2) và điểm cực tiểu là (2; -2).

Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x), ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Đồ thị hàm số có dạng đường cong đi qua các điểm cực trị và có khoảng đồng biến, nghịch biến như đã xác định.

Kết luận

Bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Việc giải bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và quy tắc liên quan đến đạo hàm, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế.

Các bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức và các tài liệu ôn tập khác.