Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 52, 53, 54 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được các giáo viên có kinh nghiệm biên soạn, đảm bảo tính chính xác và giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ học sinh học tập hiệu quả.
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết đã học, hiểu rõ các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Đồng thời, cần rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.
Thông thường, Mục 3 sẽ bao gồm các nội dung sau:
Trong Mục 3, có một số dạng bài tập thường gặp mà học sinh cần nắm vững phương pháp giải:
Bài 1: (Đề bài cụ thể của bài 1) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Bài 2: (Đề bài cụ thể của bài 2) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Bài 3: (Đề bài cụ thể của bài 3) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Bài 4: (Đề bài cụ thể của bài 4) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Bài 5: (Đề bài cụ thể của bài 5) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Bài 6: (Đề bài cụ thể của bài 6) ... (Lời giải chi tiết, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết luận).
Để giải bài tập Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả, học sinh cần:
Ngoài SGK, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập hiệu quả:
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả, học sinh sẽ học tập tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
