Dạng bài tập về đoạn thẳng và trung điểm là một phần quan trọng trong chương trình Toán 6, giúp học sinh làm quen với các khái niệm cơ bản về hình học. loigiai.com.vn cung cấp các bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và củng cố kiến thức.
Chúng tôi tập trung vào việc giải thích rõ ràng các khái niệm, cung cấp các ví dụ minh họa dễ hiểu và hướng dẫn chi tiết từng bước giải bài tập.
Học sinh có thể sử dụng tài liệu này để tự học, ôn tập hoặc làm bài tập về nhà.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
1. Hai đoạn thẳng bằng nhau
Đoạn thẳng AB là hình gồm hai điểm A, B và tất cả các điểm nằm giữa giữa A và B.
Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA.
Hai điểm A, B gọi là hai đầu mút (hoặc hai mút) của đoạn thẳng AB.
2. Độ dài đoạn thẳng
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
- Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Nếu hai điểm trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Ví dụ: Đoạn thẳng CD dài 4 cm
*So sánh hai đoạn thẳng
Ta so sánh hai đoạn thẳng bằng cách so sánh độ dài của chúng.
+ Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B\)”
+ Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\); điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)
3. Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Tóm tắt:
\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB\( \Leftrightarrow \)\({\rm{IA\; = \;IB}}.\) và \(I\) nằm giữa hai điểm A;B.
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI + IB = AB}\\{{\rm{IA\; = \;IB}}}\end{array}} \right.\)
hoặc \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Leftrightarrow {\rm{AI\; = \;BI\; = }}\dfrac{1}{2}AB\)
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Lời giải chi tiết:
Bài 1:
Cho hình vẽ sau:
a) Kể tên các đoạn thẳng trên hình vẽ.
b) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
c) Tia nào cắt đoạn thẳng tại điểm nằm giữa hai đầu của đoạn thẳng đó?
Phương pháp
+ Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm \(A,\,B\) và tất cả các điểm nằm giữa \(AB\).
+ Hai đoạn thẳng cắt nhau có một điểm chung.
Lời giải
a) Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: \(AB,\,\,AD,\,\,AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,DC\)
b) Các cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: \(AB\) và \(DC\), \(AC\) và \(BD\)
c) Tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\).
Bài 2:
Cho\(n\) điểm phân biệt \(\left( {n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}} \right)\), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số các điểm đã cho. Biết vẽ được tất cả \(120\) đoạn thẳng. Tìm giá trị của \(\,n.\)
Phương pháp
Từ \(n\) điểm \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\) ta có thể kẻ được \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Lời giải
Qua một điểm và \(\left( {n - 1} \right)\) điểm còn lại ta kẻ được \(n - 1\) đoạn thẳng.
Với \(n\) điểm ta kẻ được \(n\left( {n - 1} \right)\) đoạn thẳng.
Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, số đoạn thẳng kẻ được là \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) đoạn thẳng.
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 120\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 120.2\)
\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\)
Mà \(240 = 16.15\) nên \(n = 16\).
Vậy \(n = 16\).
Bài 3:
Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(OA = 3cm;\,\,OB = 6cm\).
a) Điểm \(A\) có nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) không?
b) So sánh \(OA\) và \(AB\).
c) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\) (vì \(3cm < 6cm\)) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
b) Vì điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\) nên ta có:
\(OA + AB = OB\)
\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 6cm - 3cm = 3cm\)
\( \Rightarrow OA = AB = 3cm\).
Vậy \(OA = AB\).
c) Ta có:
+) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
+) \(OA = AB\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(A\) là trung điểm của \(OB\).
Bài 4:
Trên đường thẳng \(xy\) lấy một điểm \(O\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = 2cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(N\) và \(P\) sao cho \(ON = 2cm\) và \(OP = a > 2cm\).
a) Chứng tỏ rằng \(O\) là trung điểm của \(MN\).
b) Tìm giá trị của \(a\) để \(N\) là trung điểm của \(OP\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
+) Định nghĩa hai tia đối nhau.
Lời giải
a) Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xy\) nên \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau.
Vì \(M \in Ox\), \(N \in Oy\) mà \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau nên điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\).
Ta lại có: \(OM = 2cm,\,\,ON = 2cm\)\( \Rightarrow OM = ON\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
b) Trên tia \(Oy\) ta có \(ON < OP\,\,\left( {2\,cm < a\,cm} \right)\) nên điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(P\).
Khi đó, ta có: \(ON + NP = OP\) \( \Rightarrow NP = OP - ON = a - 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Để \(N\) là trung điểm của \(OP\) thì \(NP = ON\)\( \Rightarrow a - 2 = 2\)\( \Rightarrow a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy \(a = 4\,\,\left( {cm} \right)\).
Bài 5:
Trên tia \(Ox\) lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(OA = 2cm\), \(OB = 5cm\) và \(OC = 8cm\).
a) Trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) điểm nào là trung điểm của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm còn lại?
b) Gọi \(H,\,\,I,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(OA,\,\,AB,\,\,BC\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(HI,\,\,HK\) và \(IK\).
Phương pháp
Áp dụng kiến thức:
+) Trên tia \(Ox\) có hai điểm \(M\) và \(N\), \(OM = a,\,\,ON = b\), nếu \(a < b\) thì điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).
+) Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) thì \(MA + MB = AB\).
+) \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(AM + MB = AB\) và \(AM = MB\).
Lời giải
a) Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB\,\,\left( {2\,cm < 5\,cm} \right)\) nên điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(B\).
Ta có: \(OA + AB = OB\)\( \Rightarrow AB = OB - OA\)\( = 5cm - 2cm = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OB < OC\,\,\left( {5\,cm < 8\,cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(C\).
Ta có: \(OB + BC = OC\)\( \Rightarrow BC = OC - OB\)\( = 8cm - 5cm = 3cm\)
\( \Rightarrow AB = BC = 3cm\)
Trên tia \(Ox\) ta có \(OA < OB < OC\) \(\left( {2cm < 5cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\).
Ta có: điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A,\,\,C\) và \(AB = BC = 3cm\)
\( \Rightarrow \) Điểm \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
b) Ta có hình vẽ:
Vì:
+ Điểm \(H\) là trung điểm của \(OA\) nên \(OH = HA = \dfrac{{OA}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AI = IB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
+ Điểm \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,\left( {cm} \right)\).
Do \(H\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(A\) nên điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\). Ta có:
\(HA + AI = HI\) \( \Rightarrow HI = 1cm + 1,5cm = 2,5cm\)
Do \(K\) và \(I\) thuộc hai tia đối nhau gốc \(B\) nên điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\). Ta có:
\(IB + BK = IK\) \( \Rightarrow KI = 1,5cm + 1,5cm = 3cm\)
Ta có:
+ Điểm \(A\) nằm giữa \(H\) và \(I\) nên \(H\) và \(A\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(B\) nằm giữa \(K\) và \(I\) nên \(K\) và \(B\) nằm cùng phía so với điểm \(I\).
+ Điểm \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(B\) và \(A\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, \(H\) và \(K\) nằm khác phía so với điểm \(I\).
Suy ra, điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K\).
Ta có: \(IH + IK = HK\)\( \Rightarrow HK = 2,5cm + 3cm = 5,5cm\).
Trong chương trình Toán 6, kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng là nền tảng quan trọng cho các kiến thức hình học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng liên quan đến đoạn thẳng, trung điểm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
1. Đoạn thẳng là gì?
Đoạn thẳng là hình gồm hai điểm và tất cả các điểm nằm giữa hai điểm đó. Hai điểm đó gọi là hai mút của đoạn thẳng.
2. Độ dài đoạn thẳng
Độ dài của đoạn thẳng là khoảng cách giữa hai mút của đoạn thẳng. Độ dài đoạn thẳng thường được ký hiệu là AB, trong đó A và B là hai mút của đoạn thẳng.
3. So sánh độ dài hai đoạn thẳng
Để so sánh độ dài hai đoạn thẳng, ta có thể sử dụng thước đo hoặc áp dụng các tính chất của bất đẳng thức.
1. Trung điểm của đoạn thẳng là gì?
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai mút của đoạn thẳng và cách đều hai mút đó.
2. Cách tìm trung điểm của đoạn thẳng
Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có thể sử dụng công thức:
M là trung điểm của AB khi và chỉ khi AM = MB = AB/2
Ngoài các bài tập cơ bản, học sinh có thể gặp các bài toán phức tạp hơn liên quan đến đoạn thẳng và trung điểm, ví dụ như:
Để nắm vững kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm, học sinh nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. loigiai.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và củng cố kiến thức. Học sinh cũng nên tham khảo các tài liệu học tập khác, như sách giáo khoa, sách bài tập, và các trang web học toán trực tuyến.
Kiến thức về đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 6. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng liên quan đến đoạn thẳng, trung điểm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. loigiai.com.vn hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp học sinh học tập tốt môn Toán và đạt kết quả cao trong kỳ thi.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
