Dạng bài tập này tập trung vào việc nhận biết và tìm quy luật của các dãy phân số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 6, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
loigiai.com.vn cung cấp các bài tập Dạng 6 với lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập về nhà.
Phát hiện quy luật của dãy số
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Phát hiện quy luật của dãy số
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
a) A = \(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
b) b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \(\dfrac{k}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{{n - \left( {n - k} \right)}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{n}{{\left( {n - k} \right).n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left( {n - k} \right).n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\)
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\(2017:\left( {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\left( {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right)}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{ - 2}}{3}\)
b) \(B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\)
c) \(C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\)
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \(6\) \( \Rightarrow \) Nhân cả 2 vế của biểu thức với \(3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 3 \cdot \left( {\dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{6}{{1.7}} + \dfrac{6}{{7.13}} + \dfrac{6}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{6}{{2013.2019}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{13}} + \dfrac{1}{{13}} - \dfrac{1}{{19}} + \ldots + \dfrac{1}{{2013}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{2018}}{{2019}}\end{array}\)
\( \Rightarrow 3C = \dfrac{{2018}}{{2019}} \Rightarrow C = \dfrac{{2018}}{{2019}}:3 = \dfrac{{2018}}{{2019}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{2018}}{{6057}}\)
d) \(D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = 7 \cdot \dfrac{8}{8} \cdot \left( {\dfrac{1}{{1.9}} + \dfrac{1}{{9.17}} + \dfrac{1}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{8}{{1.9}} + \dfrac{8}{{9.17}} + \dfrac{8}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{8}{{2011.2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{17}} + \dfrac{1}{{17}} - \dfrac{1}{{25}} + \ldots + \dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{7}{8} \cdot \left( {\dfrac{{2019}}{{2019}} - \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{{2018}}{{2019}} = \dfrac{{7.1009}}{{4.2019}} = \dfrac{{7063}}{{8076}}\end{array}\)
Vậy \(D = \dfrac{{7063}}{{8076}}.\)
e) \(E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.3}}{{1.4}} + \dfrac{{3.3}}{{4.7}} + \dfrac{{3.3}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{3.3}}{{2017.2020}}\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{3}{{2017.2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \ldots + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{{2020}}} \right) = 3 \cdot \left( {\dfrac{{2020}}{{2020}} - \dfrac{1}{{2020}}} \right)\\ = 3 \cdot \dfrac{{2019}}{{2020}} = \dfrac{{6057}}{{2020}}\end{array}\)
Vậy \(E = \dfrac{{6057}}{{2020}} \cdot \)
f) \(F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
Ta xét:
\(\dfrac{2}{{1.2.3}} = \dfrac{{3 - 1}}{{1.2.3}} = \dfrac{3}{{1.2.3}} - \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}\)
\(\dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{{4 - 2}}{{2.3.4}} = \dfrac{4}{{2.3.4}} - \dfrac{2}{{2.3.4}} = \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}\)
\(........\)
\(\dfrac{2}{{18.19.20}} = \dfrac{{20 - 18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{{20}}{{18.19.20}} - \dfrac{{18}}{{18.19.20}}\)\( = \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\)
\( \Rightarrow 2F = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \dfrac{2}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{3.4}} - \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{19.10 - 1}}{{19.20}} = \dfrac{{190 - 1}}{{380}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)
\( \Rightarrow F = \dfrac{{189}}{{380}}:2 = \dfrac{{189}}{{380}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{189}}{{760}}\)
Vậy \(F = \dfrac{{189}}{{760}} \cdot \)
Bài 2:
Tính các tổng sau:
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\)
Phương pháp
Xét các phân số có tử bằng nhau và có mẫu là lũy thừa tăng dần của cùng 1 cơ số thì ta nhân cả 2 vế với đúng cơ số đó. Trường hợp tổng quát:
\(A = \dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}\)\( \Rightarrow A.a = a\left( {\dfrac{1}{{{a^1}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^n}}}} \right)\)\( = 1 + \dfrac{1}{a} + \ldots + \dfrac{1}{{{a^{n - 1}}}}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2A = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow 2A - A = \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2019}}}} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\)
\( \Rightarrow A = 1 - \dfrac{1}{{{2^{2020}}}} = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{{2^{2020}}}}\).
b) \(B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\) \( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}} \right)\)
\( \Rightarrow 2B = 2.1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\( \Rightarrow 2B = 3 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{10}}}}\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)
\( \Rightarrow 2B - B = 2 - \dfrac{1}{{{2^{11}}}}\)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}}\);
Vậy \(B = \dfrac{{{2^{12}} - 1}}{{{2^{11}}}} \cdot \)
Bài 3:
a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Phương pháp
+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.
+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Lời giải
a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)
b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)
Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:
\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)
\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)
\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)
\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)
Dãy phân số viết theo quy luật là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 6, đặc biệt trong giai đoạn ôn hè để chuẩn bị cho năm học mới. Việc nắm vững kiến thức về dãy phân số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán cụ thể mà còn phát triển tư duy logic và khả năng suy luận toán học.
Một dãy phân số được gọi là có quy luật nếu có một công thức hoặc một mối quan hệ nào đó liên kết các phân số trong dãy. Quy luật này có thể là cộng, trừ, nhân, chia, hoặc một quy luật phức tạp hơn.
Ví dụ:
Để giải các bài tập về dãy phân số, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ 1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy phân số: 1/3, 2/6, 3/9, ...
Giải:
Ta thấy quy luật của dãy là tử số tăng dần 1 đơn vị và mẫu số tăng dần 3 đơn vị. Vậy số hạng tiếp theo của dãy là 4/12.
Ví dụ 2: Tìm quy luật của dãy phân số: 1/2, 1/4, 1/8, ...
Giải:
Ta thấy quy luật của dãy là mỗi phân số bằng phân số trước đó chia cho 2. Vậy quy luật của dãy là un = 1/2n.
Dưới đây là một số bài tập luyện tập để giúp học sinh củng cố kiến thức về dãy phân số:
Dạng 6: Dãy phân số viết theo quy luật là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 6. Việc nắm vững kiến thức về dãy phân số sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và phát triển tư duy toán học. loigiai.com.vn hy vọng rằng với các bài tập và lời giải chi tiết, học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
