Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 4

Sử dụng kiến thức giải phương trình lượng giác: Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó, \(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: \(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Sử dụng kiến thức về nghiệm phương trình lượng giác: Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\sin x = 1\) có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Sử dụng kiến thức về tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\): Hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

Sử dụng kiến thức về hàm số lẻ: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)

Vì \(\tan \left( { - x} \right) = - \tan x\) nên hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

Sử kiến thức về đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

Hình trên là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Sử dụng kiến thức về số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q. Số hạng tổng quát \({u_n}\) được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số.

Dãy số gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10 là: 0; 2; 4; 6; 8.

Sử dụng quy tắc về giới hạn hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) với k là số chẵn.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) với k là số chẵn.

Sử dụng kiến thức hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 3.2 = 6\)

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{6}{2} = 3\)

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau nên đáp án D sai.

Sử dụng kiến thức đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Do \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right),E \in SA \subset \left( {SAC} \right)\) nên đường thẳng OE nằm trong mặt phẳng (SAC)

Sử dụng kiến thức về vị trí hai đường thẳng trong không gian.

Hai đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó thuộc hai mặt phẳng khác nhau

Sử dụng kiến thức hai mặt phẳng song song: Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Nếu trong mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Sử dụng kiến thức về hình tứ diện đều: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Hình tứ diện đều có bốn mặt là các tam giác đều.

Sử dụng kiến thức về phép chiếu song song: Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Trong không gian, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Sử dụng công thức: \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

\(\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 2{{\cos }^2}b - 1} \right) = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1\)

\( = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} - 1 = \frac{{ - 191}}{{225}}\)

Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \)có nghiệm: \(x = \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\(\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Sử dụng kiến công thức: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1,\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\). Ta có: \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

Do đó, \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt {15} }}{4} = \frac{{\sqrt {15} }}{8}\)

Sử dụng kiến thức về dãy số cho bởi công thức truy hồi.

Ta có: \({u_2} = \frac{1}{{2 + {u_1}}} = \frac{1}{{2 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{9},{u_3} = \frac{1}{{2 + {u_2}}} = \frac{1}{{2 + \frac{4}{9}}} = \frac{9}{{22}}\)

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Gọi \({u_n}\) là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng bậc thang ở bậc thứ n.

Khi đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 900m\) và \(d = 1,5m\)

Ta có: \({u_{19}} = {u_1} + 18d = 900 + 18.1,5 = 927\)

Vậy bậc thứ 19 của thửa ruộng có độ cao là 927m so với mực nước biển.

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Ta có: \({u_n} = 6 - 4n - 4{n^2} = 7 - \left( {1 + 4n + 4{n^2}} \right) = 7 - {\left( {2n + 1} \right)^2} \le 7\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên, không bị chặn dưới.

Sử dụng kiến thức giới hạn hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n\) với \(n \in \mathbb{N}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{mx + 5}}{{x + 1}} = \frac{{m + 5}}{{1 + 1}} = \frac{{m + 5}}{2}\)

Do đó, \(\frac{{m + 5}}{2} = 6 \Leftrightarrow m + 5 = 12 \Leftrightarrow m = 7\)

Sử dụng quy tắc về giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}}}{{{n^2}}} + \frac{2}{n}} }}{{\frac{n}{n} - \frac{2}{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} }}{{1 - \frac{2}{n}}} = 1\)

Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm phân thức hữu tỉ (thương là hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Hàm số f(x) xác định khi: \({x^2} + 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne - 1\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right),\left( { - 4; - 1} \right),\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với (P).

Vì \(MN \subset \left( {SAC} \right)\) nên MN không song song với (SAC)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN là đường trung bình của tam giác SAC. Do đó, MN//AC. Mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên MN// (ABCD).

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC nên MN là đường trung bình của tam giác CAD.

Do đó, MN//CD. Mà \(MN \subset \left( {MNG} \right),CD \subset \left( {BCD} \right)\), G là điểm chung của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng qua G song song với CD.

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Vì hai đường thẳng GF và AB cùng nằm trong mặt phẳng (ABC) nên giao điểm GF và AB thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (SAB).

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Ta có: \(f\left( 1 \right) = - 2m + 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = \frac{{1 + 1}}{{\sqrt {{1^2} + 3} + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Để hàm số f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2m + 5 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 4m + 10 = 1 \Leftrightarrow - 4m = - 9 \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\)

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì a song song với P.

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Vì AD//BC nên $\Delta EBC\backsim \Delta EAD\Rightarrow \frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow EB=\frac{1}{2}EA,EC=\frac{1}{2}ED$

Do đó, B là trung điểm của AE, C là trung điểm của DE.

Suy ra, BD, AC là hai đường trung tuyến của tam giác ADE. Mà O là giao điểm của AC và BD.

Do đó, O là trọng tâm của tam giác ADE. Do đó, \(\frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3}\)

Gọi I là trung điểm của SC. Vì G là trọng tâm của tam giác SCD nên \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác DIB có: \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) nên OG//IB (định lý Thalès đảo). Mà \(IB \subset \left( {SBC} \right)\) nên OG//(SBC).

Sử dụng kiến thức giải phương trình lượng giác: Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó, \(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0,\tan x \ne 1\)

Ta có: \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}} = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\({2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}\)

\( \Leftrightarrow {2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x\left[ {{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\left( {do\;\cos x \ne 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\{\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}\end{array} \right.\)

+) \(\tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) \({\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}\) (*) (thỏa mãn điều kiện)

Ta có: \({\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = 2\left[ {\frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^{1012}} + {{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^{1012}}}}{2}} \right] \ge 2{\left( {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1012}} = \frac{1}{{{2^{1011}}}}\)

Do đó, phương trình (*) vô nghiệm.

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Sau 1 tháng, giá trị của ô tô còn lại là: \({u_1} = 800 - 800.0,5\% = 800\left( {1 - 0,5\% } \right)\) (triệu đồng)

Sau 2 tháng, giá trị của ô tô còn lại là:

\({u_2} = 800\left( {1 - 0,5\% } \right) - 800\left( {1 - 0,5\% } \right).0,5\% = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2}\) (triệu đồng)

Sau 3 tháng, giá trị của ô tô còn lại là:

\({u_3} = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2} - 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^2}.0,5\% = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^3}\) (triệu đồng)

Gọi \({u_n}\) là giá trị ô tô sau n tháng sử dụng.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là \({u_1} = 800\left( {1 - 0,5\% } \right)\), công bội \(q = 1 - 0,5\% \)

Khi đó, công thức tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_n} = 800.{\left( {1 - 0,5} \right)^n}\)

Sau 3 năm, giá trị sử dụng ô tô còn lại là: \({u_{36}} = 800{\left( {1 - 0,5\% } \right)^{36}} \approx 667,91\) (triệu đồng)

Sau 3 năm, số tiền anh M làm ra là: \(16.36 = 576\) (triệu đồng)

Vậy sau 3 năm, tổng số tiền (bao gồm giá tiền ô tô và tổng số tiền anh M làm ra) anh M có được là: \(667,91 + 576 = 1234,91\) (triệu đồng)