loigiai.com.vn xin giới thiệu Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Cánh diều, một tài liệu ôn tập quan trọng giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đề thi được biên soạn theo chương trình học Toán 7 Cánh diều, bao gồm các dạng bài tập thường gặp trong kỳ thi học kì.
Với đáp án chi tiết đi kèm, học sinh có thể tự đánh giá năng lực và tìm ra những điểm cần cải thiện.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1.
Quan sát biểu đồ dưới đây và cho biết tỉ lệ phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là:
A. 37%;
B. 37,5%;
C. 38%;
D. 38,5%.
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 20 cm là:
A. \(960c{m^2}\)
B. \(960c{m^3}\)
C. \(1920c{m^3}\)
D. \(1920c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. B | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tìm số học sinh được điểm xuất sắc
Tìm tổng số học sinh của lớp 7A
Tìm tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp.
Cách giải:
Số học sinh được điểm xuất sắc là: 9 + 6 = 15 (học sinh).
Tổng số học sinh của lớp 7A là: 2 + 2 + 3 + 4 + 14 + 9 + 6 = 40 (học sinh).
Tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là:
(15 : 40).100% = 37,5%
Vậy tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là 37,5%.
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.20 = 960\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1:
\(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\)
Trường hợp 2:
\(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow y = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.1019\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Tải về
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1.
Quan sát biểu đồ dưới đây và cho biết tỉ lệ phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là:
A. 37%;
B. 37,5%;
C. 38%;
D. 38,5%.
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 20 cm là:
A. \(960c{m^2}\)
B. \(960c{m^3}\)
C. \(1920c{m^3}\)
D. \(1920c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. B | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tìm số học sinh được điểm xuất sắc
Tìm tổng số học sinh của lớp 7A
Tìm tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp.
Cách giải:
Số học sinh được điểm xuất sắc là: 9 + 6 = 15 (học sinh).
Tổng số học sinh của lớp 7A là: 2 + 2 + 3 + 4 + 14 + 9 + 6 = 40 (học sinh).
Tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là:
(15 : 40).100% = 37,5%
Vậy tỉ số phần trăm học sinh được điểm xuất sắc (điểm 9, 10) so với học sinh cả lớp là 37,5%.
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.20 = 960\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1:
\(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\)
Trường hợp 2:
\(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow y = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.1019\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Kỳ thi học kì 2 Toán 7 là một bước quan trọng trong quá trình học tập của học sinh. Việc chuẩn bị kỹ lưỡng không chỉ giúp học sinh đạt kết quả tốt mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học ở những lớp trên. Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Cánh diều do loigiai.com.vn cung cấp là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình ôn tập này.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập khác nhau, bao phủ toàn bộ kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 7 Cánh diều trong học kì 2. Cụ thể, đề thi thường bao gồm:
Dưới đây là chi tiết nội dung đề thi, bao gồm các chủ đề chính và một số ví dụ minh họa:
Phần này tập trung vào các khái niệm cơ bản về số hữu tỉ, số thực, các phép toán trên số hữu tỉ và số thực. Học sinh cần nắm vững các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ và số thực, cũng như cách so sánh các số này.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: (1/2 + 3/4) * 2/5
Phần này yêu cầu học sinh hiểu rõ về biểu thức đại số, các phép toán trên biểu thức đại số, và cách rút gọn biểu thức. Học sinh cũng cần nắm vững các quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 3x + 2(x - 1)
Phần này tập trung vào các kiến thức về tam giác, bao gồm các loại tam giác, các tính chất của tam giác, và các định lý liên quan đến tam giác. Học sinh cần nắm vững các định lý về tổng ba góc trong một tam giác, về góc ngoài của tam giác, và về các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A = 60 độ, góc B = 80 độ. Tính góc C.
Phần này giới thiệu về các khái niệm cơ bản về thống kê và xác suất, bao gồm cách thu thập, xử lý và biểu diễn dữ liệu, cũng như cách tính xác suất của một sự kiện.
Ví dụ: Một hộp có 5 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu xanh. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được quả bóng màu đỏ.
Để giải đề thi hiệu quả, học sinh cần:
Ngoài việc luyện tập với đề thi này, học sinh nên:
loigiai.com.vn hy vọng rằng Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Cánh diều sẽ là một tài liệu hữu ích giúp các em học sinh ôn tập và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
