Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong chương trình Toán 11 và các ứng dụng thực tế.

I. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:

• u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

II. Các tính chất của cấp số nhân

Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:

1. Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
   • Nếu q = 1: S_n = n.a
   • Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

III. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Giải:

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên (q ≠ 1): S₁₀ = 1.(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023

IV. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính lãi kép trong ngân hàng
• Tính sự tăng trưởng dân số
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, các em hãy làm thêm các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm số hạng thứ 7 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = -2
• Bài 2: Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 3 và q = 1/2
• Bài 3: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 5 năm người đó có bao nhiêu tiền (cả gốc lẫn lãi)?

VI. Kết luận

Bài 3. Cấp số nhân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của cấp số nhân sẽ giúp các em giải quyết tốt các bài toán liên quan và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Chúc các em học tập tốt!