Bài 4. Khoảng cách

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trong SGK Toán 11 tập 2, chương VIII, Quan hệ vuông góc trong không gian, xoay quanh việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến khoảng cách là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc giải quyết các bài toán trong chương trình học mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.

I. Khái niệm cơ bản về khoảng cách trong không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm. Tuy nhiên, bài 4 tập trung vào các loại khoảng cách đặc biệt hơn:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Được tính bằng công thức quen thuộc dựa trên tọa độ của hai điểm.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Nếu hai đường thẳng song song, khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc chung. Nếu hai đường thẳng cắt nhau, khoảng cách bằng 0.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng song song, khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc chung. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau, khoảng cách bằng 0.

II. Công thức tính khoảng cách

Để tính toán khoảng cách một cách chính xác, chúng ta cần nắm vững các công thức sau:

1. Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến đường thẳng Δ: d(M, Δ) = √( (x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)² + (z₀ - z₁)² ), trong đó (x₁, y₁, z₁) là một điểm thuộc Δ và vector chỉ phương của Δ là u = (a, b, c).
2. Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): d(M, (P)) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²), trong đó (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0.

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng Δ có phương trình tham số: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 4 + 2t. Tính khoảng cách từ A đến Δ.

Giải:

• Chọn một điểm B thuộc Δ, ví dụ khi t = 0, ta có B(2, 1, 4).
• Vector AB = (1, -1, 1).
• Vector chỉ phương của Δ là u = (1, -1, 2).
• Tính tích có vector của AB và u: AB x u = (1, -3, -2).
• Tính độ dài của AB x u: ||AB x u|| = √(1² + (-3)² + (-2)²) = √14.
• Tính độ dài của u: ||u|| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6.
• Khoảng cách từ A đến Δ là: d(A, Δ) = ||AB x u|| / ||u|| = √14 / √6 = √(7/3).

IV. Lưu ý khi giải bài tập về khoảng cách

• Luôn kiểm tra xem các đối tượng hình học có song song, vuông góc hay cắt nhau hay không.
• Sử dụng đúng công thức tính khoảng cách tương ứng với từng trường hợp.
• Chú ý đến việc biểu diễn tọa độ của các điểm và phương trình của các đường thẳng, mặt phẳng.
• Kiểm tra lại kết quả tính toán để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về khoảng cách trong chương trình Toán 11 tập 2. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.