Lý thuyết Khoảng cách là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian và giải tích. Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Khám phá các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến khoảng cách một cách chi tiết và trực quan.
A. Lý thuyết 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
| Cho điểm O không thuộc đường thẳng a. H là hình chiếu của O trên a. Độ dài OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a). |
Lưu ý:
- d(O,a) là nhỏ nhất so với khoảng cách từ O đến mọi điểm thuộc a.
- d(O,a) = 0 khi và chỉ khi O thuộc a.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
| Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a, b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng a đến đường thẳng b, kí hiệu là d(a,b). |
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
| Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng \((\alpha )\) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a đến \((\alpha )\). Khoảng cách giữa a và \((\alpha )\) được kí hiệu là \(d(a,(\alpha ))\). |
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
| Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((\alpha )\) và \((\beta )\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là \(d((\alpha ),(\beta ))\). |
Lưu ý: \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M,(\beta ))\) với \(M \in (\alpha )\) và \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M',(\alpha ))\), với \(M' \in (\beta )\).
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Khái niệm
Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, kí hiệu d(a,b). |
b) Tính chất
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. |
Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó.
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo AC’.
Giải:
Khoảng cách từ B đến AC’ là chiều cao BH của tam giác BAC’.
Ta có:
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(AB \bot (BB'C'C) \Rightarrow AB \bot BC'\); hay tam giác ABC’ vuông tại B.
AB = a, \(BC' = \sqrt 2 a\) (BB’C’C là hình vuông cạnh a) nên \(AC' = \sqrt 3 a\) (đường chéo hình lập phương cạnh a).
\(BA.BC' = BH.AC = 2{S_{\Delta ABC}}\). Suy ra \(BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Vậy \(d(B;AC') = BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng các từ S đến mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc nhau theo giao tuyến AB.
Gọi H là trung điểm của AB thì \(SH \bot AB\). Suy ra \(SH \bot (ABCD)\) tại H.
Vậy \(d(S,ABCD) = SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\) (chiều cao của tam giác đều cạnh a).
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và AD’.
Giải:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ABC’D’ là hình chữ nhật.
Do đó BC’ // AD’.
Vậy \(d(BC',AD') = d(A,BC') = AB = a\).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).
Giải:
AB // CD, \(CD \subset (SCD)\) nên AB // (SCD).
Vậy \(d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))\).
Ta có \(CD \bot SA\) và \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot (SAD)\). Vậy \((SAD) \bot (SCD)\).
Mà \((SAD) \cap (SCD) = SD\) nên gọi H là hình chiếu của A trên SD thì \(AH \bot (SCD)\) và \(d(A,(SCD)) = AH\).
Xét tam giác SAD vuông tại A có SA = 2a, AD = a nên \(S{D^2} = A{D^2} + S{A^2} = 5{a^2}\) hay \(SD = \sqrt 5 a\).
Suy ra \(AH.SD = SA.AD \Rightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).
Vậy \(d(AB,(SCD)) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’ cách đều A, B, C và AA’ = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ này.
Giải:
Do (ABC) // (A’B’C’) nên \(d((ABC),(A'B'C')) = d(A',(ABC))\).
Vì tam giác ABC đều và AA’ = A’B = A’C nên A’.ABC là hình chóp tam giác đều.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: A’.ABC là hình chóp đều nên A’O vuông góc với (ABC) tại O. Vậy d(A’,(ABC)) = A’O.
Ta có \(A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).
Vậy \(d((ABC),(A'B'C')) = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB’ và AC.
b) BB’ và A’C.
c) AC và B’D’.
Giải:
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có:
\(BO \bot AC\) (ABCD là hình vuông).
\(BO \bot BB'\) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(BB' \bot (ABCD)\)); BO cắt AC, BB’ lần lượt tại O, B.
Suy ra BO là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BB’ và AC.
Mà ABCD là hình vuông cạnh a, nên \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BB’ và AC là \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
b) Ta có: BB’ // AA’, suy ra (ACA’) chứa AC và song song với BB’.
Suy ra \(d(BB';AC) = d(BB';(ACA')) = d(B;(ACA')) = BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
c) Ta có AC và B’D’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song nhau là (ABCD) và (A’B’C’D’) nên \(d(AC,B'D') = d((ABCD),(A'B'C'D')) = AA' = a\).
Trong chương trình Toán 11, phần Lý thuyết Khoảng cách đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức hình học không gian và giải tích. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết khoảng cách, bao gồm các khái niệm cơ bản, công thức quan trọng và các ứng dụng thực tế.
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
d(M, Δ) = |ax0 + by0 + c| / √(a2 + b2)
Công thức này được suy ra từ việc sử dụng hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng Δ. Việc hiểu rõ cách suy ra công thức này sẽ giúp học sinh nhớ và áp dụng công thức một cách linh hoạt.
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:
d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)
Tương tự như khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, công thức này cũng được suy ra từ việc sử dụng hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên Δ1 đến Δ2 (hoặc ngược lại).
Để tính khoảng cách này, ta có thể chọn một điểm M thuộc Δ1, sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính d(M, Δ2).
Nếu hai mặt phẳng (P1) và (P2) song song với nhau, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (P1) đến (P2) (hoặc ngược lại).
Tương tự như khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, ta có thể chọn một điểm M thuộc (P1), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính d(M, (P2)).
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 2x - y + 3 = 0.
Giải:
d(A, Δ) = |2(1) - 2 + 3| / √(22 + (-1)2) = 3 / √5 = (3√5) / 5
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1): x + y + z - 1 = 0 và (P2): x + y + z - 4 = 0.
Giải:
Chọn điểm M(0, 0, 1) thuộc (P1). Khoảng cách từ M đến (P2) là:
d(M, (P2)) = |0 + 0 + 1 - 4| / √(12 + 12 + 12) = 3 / √3 = √3
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
