Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo - Đề số 10

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ta suy ra \(a.d = b.c\)

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Từ đẳng thức 2.12 = 8.3 ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức là:

\(\frac{2}{3} = \frac{8}{{12}};\frac{2}{8} = \frac{3}{{12}};\frac{3}{2} = \frac{{12}}{8};\frac{8}{2} = \frac{{12}}{3}\).

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có công thức \(y = 2x\).

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên \(a = xy = 2.12 = 24\).

Dựa vào kiến thức về tổng ba góc của một tam giác.

Tổng số đo các góc của tam giác là \({180^0}\).

Dựa vào đặc điểm của hai tam giác bằng nhau.

Ta có \(\Delta MNP = \Delta LKQ\) suy ra \(MN = KL = 3cm;\widehat M = \widehat L = {90^0}\) suy ra đáp án A đúng.

Dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác để so sánh.

Trong tam giác ABC có AC < BC < AB (4cm < 6cm < 8cm) suy ra \(\widehat B < \widehat A < \widehat C\).

Dựa vào quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.

Ta có 3 + 4 = 7 < 8 nên 3cm, 4cm, 8cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 3 + 7 = 10 nên 10cm, 7cm, 3cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 4 + 5 = 9 nên 9cm, 5cm, 4cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Vậy chỉ có 6cm, 7cm, 10cm là ba cạnh của một tam giác.

Dựa vào mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Vì AB là đường vuông góc kẻ từ A xuống BE nên AB nhỏ nhất.

Quan sát hình vẽ ta thấy C nằm giữa B và D nên BC < BD suy ra AC < AD.

Mà D lại nằm giữa B và E nên BD < BE suy ra AD < AE.

Suy ra AB < AC < AD < AE.

Dựa vào kiến thức về tam giác cân.

Tam giác MNK có MN = NK là tam giác cân tại N.

Dựa vào kiến thức về tam giác cân.

Tam giác ABC cân tại C nên \(\widehat A = \widehat B\).

Dựa vào kiến thức về đường vuông góc.

Đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng m làđường thẳng kẻ từ A đến m và vuông góc với m.

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức.

a) Ta có: \(\frac{x}{6} = \frac{4}{3}\)

Suy ra \(x.3 = 4.6\)

\(x = \frac{{4.6}}{3} = 8\)

Vậy x = 8.

b) Ta có: \(7:x = - 9:4\)

Suy ra \(\frac{7}{x} = \frac{{ - 9}}{4}\)

\(\begin{array}{l}7.4 = - 9.x\\x = \frac{{7.4}}{{ - 9}} = \frac{{ - 28}}{9}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 28}}{9}\).

c) Ta có: \(\frac{x}{7} = \frac{y}{3}\) và \(x - y = - 16\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{x - y}{7 - 3} = \frac{-16}{4} = -4\)

Suy ra \(\frac{x}{7} = -4\) nên \(x = -4.7 = -28\)

\(\frac{y}{3} = -4\) nên \(y = -4.3 = -12\)

Vậy \(x = -28; y = -12\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c. \(\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)\)

Vì số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với 4; 3; 2 nên ta có: \(\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}\).

Vì tổng số học sinh giỏi của cả ba lớp là 45 em ta có a + b + c = 45.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2} = \frac{{a + b + c}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{45}}{9} = 5\)

Suy ra \(a = 5.4 = 20\)

\(\begin{array}{l}b = 5.3 = 15\\c = 5.2 = 10\end{array}\)

Vậy số học sinh giỏi của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20; 15; 10 học sinh.

Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức tam giác.

Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km suy ra AC < AB.

Trong ∆ABC có: CB > AB – AC (hệ quả của bất đẳng thức tam giác)

Suy ra CB > 90 – 30 = 60km

Vậy nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.

a) Chứng minh \(\Delta EDM{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta EFM\) theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Chứng minh \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF} = {90^0}\) suy ra \(EM \bot DF\).

c) Chứng minh \(\Delta EAB\) cân nên \(\widehat {EAB} = \widehat {EDF}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AB // DF.

a) Xét \(\Delta EDM\) và \(\Delta EFM\) có:

DE = EF (tam giác DFE cân tại E)

DM = MF (M là trung điểm của DF)

ME chung

Suy ra \(\Delta EDM = \Delta EFM\) (c.c.c) (đpcm)

b) \(\Delta EDM = \Delta EFM\) suy ra \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {EMD}\) và \(\widehat {EMF}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {EMD} + \widehat {EMF} = {180^0}\)

Suy ra \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\) hay \(EM \bot DF\) (đpcm)

c) \(\Delta EDM = \Delta EFM\) suy ra \(\widehat {DEM} = \widehat {FEM}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta BEM\) có:

\(\widehat {AEM} = \widehat {BEM}\) (cmt)

\(\widehat {EAM} = \widehat {EBM}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

EM chung

Suy ra \(\Delta AEM = \Delta BEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AE = EB (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta AEB\) là tam giác cân tại E.

\(\widehat {EAB} = \widehat {EBA} = \frac{{{{180}^0} - \widehat E}}{2}\)

Mà \(\Delta DFE\) cân tại E nên \(\widehat {EDF} = \widehat {EFD} = \frac{{{{180}^0} - \widehat E}}{2}\)

Suy ra \(\widehat {EAB} = \widehat {EDF}\).

Mà \(\widehat {EAB}\) và \(\widehat {EDF}\) là hai góc đồng vị nên AB // DF (đpcm)

Biến đổi \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\) thành \(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}\) và rút gọn để tìm a, b, c.

Thay a, b, c vào M để tính giá trị của M.

Ta có:\(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ac}}{{a + c}}\)

\(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}\)

\(\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}} = \frac{b}{{bc}} + \frac{c}{{bc}} = \frac{a}{{ac}} + \frac{c}{{ac}}\)

suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)

Ta có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)

\(\frac{1}{a} = \frac{1}{c}\) suy ra \(a = c\) (1)

\(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)

\(\frac{1}{a} = \frac{1}{b}\) suy ra \(a = b\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = b = c

Thay vào M, ta được:

\(\begin{array}{l}M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\\M = \frac{{2.a.a + 3.a.a + a.a}}{{2{a^2} + 3{a^2} + {a^2}}}\\M = \frac{{6{a^2}}}{{6{a^2}}} = 1\end{array}\)

Vậy M = 1.