loigiai.com.vn xin giới thiệu Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức, một công cụ hỗ trợ học sinh ôn luyện và đánh giá năng lực bản thân trước kỳ thi quan trọng. Đề thi được biên soạn theo chương trình Kết nối tri thức, bám sát kiến thức trọng tâm và cấu trúc đề thi thường gặp.
Với đề thi này, các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M\) có \(\angle N = {50^0}\). Số đo của góc \(M\) là:
A. \({65^0}\)
B. \({50^0}\)
C. \({130^0}\)
D. \({80^0}\)
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 2 cm là:
A. \(96c{m^2}\)
B. \(96c{m^3}\)
C. \(192c{m^3}\)
D. \(192c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. D | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác \(MNP\) cân tại M nên \(\widehat N = \widehat P = 50^\circ \).
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(MNP\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M = 80^\circ \end{array}\)
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.2 = 96\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\) | Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\) |
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow x = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.\left( {61a + 9b + c + 6a} \right)\\ = 5.\left( {2019 + 6a} \right)\end{array}\)
Vì \(5.\left( {2019 + 6a}\right) \vdots 5\) nên \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) \vdots 5\) hay \( f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Tải về
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M\) có \(\angle N = {50^0}\). Số đo của góc \(M\) là:
A. \({65^0}\)
B. \({50^0}\)
C. \({130^0}\)
D. \({80^0}\)
Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {55^0}\,,\,\angle B = {85^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:
A. \(BC > AC > AB\)
B. \(AB > BC > AC\)
C. \(AB > AC > BC\)
D. \(AC > BC > AB\)
Câu 3. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cạnh?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
Câu 4: Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi có 2 đường chéo 8 cm, 12 cm; chiều cao 2 cm là:
A. \(96c{m^2}\)
B. \(96c{m^3}\)
C. \(192c{m^3}\)
D. \(192c{m^2}\)
Câu 5. Tính \(2{x^3}.5{x^4}\)ta thu được kết quả là:
A. \(10{x^4}\)
B. \(10{x^3}\)
C. \(10{x^7}\)
D. \(10{x^{12}}\)
Câu 6. Hệ số cao nhất của đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 là
A. 10;
B. -4;
C. 3;
D. -5.
Câu 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM = 9 cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài GM?
A. GM = 6 cm;
B. GM = 9 cm;
C. GM = 3 cm;
D. GM = 18 cm.
Câu 8. Đội múa có 1 bạn nam và 5 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn để phỏng vấn. Biết mỗi bạn đều có khả năng được chọn. Tính xác suất của biến cố “Bạn được chọn là nam”.
A. 1
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\)
D. \(\dfrac{1}{6}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Tìm \(x\) biết:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
Bài 2. (1,5 điểm) Ba đội công nhân tham gia làm đường và phải làm ba khối lượng công việc như nhau. Để hoàn thành công việc, đội I cần 4 ngày, đội II cần 6 ngày và đội III cần 8 ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết rằng đội I có nhiều hơn đội II là 4 người (năng suất mỗi người như nhau).
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các đa thức:
\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)
\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)
\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\)
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)
b) Từ \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD = DH\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm \(AC,\,CD\) cắt \(AH\) tại G. Chứng minh \(B,G,E\) thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC > AH + 3BG\).
Bài 5. (0,5 điểm)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a\) là số nguyên dương và \(f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 2019\). Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số.
I. Trắc nghiệm:
1. D | 2. D | 3. D | 4. B |
5. C | 6. D | 7. C | 8. D |
Câu 1:
Phương pháp:
Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác \(MNP\) cân tại M nên \(\widehat N = \widehat P = 50^\circ \).
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(MNP\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat M = 80^\circ \end{array}\)
Chọn D.
Câu 2:
Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.
Cách giải:
Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{55}^0} + {{85}^0}} \right) = {40^0}\).
\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).
Chọn D.
Câu 3:
Phương pháp
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.
Chọn D
Câu 4.
Phương pháp
Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao
Diện tích hình thoi = \(\dfrac{1}{2}\). Tích 2 đường chéo
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích hình lăng trụ đó là: \(V = S.h = 48.2 = 96\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn B
Câu 5:
Phương pháp:
Ta có công thức nhân hai lũy thừa \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}}\)
Cách giải:
\(2{x^3}.5{x^4} = 10.{x^{3 + 4}} = 10{x^7}\)
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.
Cách giải:
Đa thức M = 10x2 – 4x + 3 – 5x5 có hệ số cao nhất là -5.
Chọn D
Chú ý: Hệ số cao nhất không phải hệ số lớn nhất trong đa thức.
Câu 7:
Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)\).
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp:
Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Cách giải:
Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.
Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.
Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là \(\dfrac{1}{6}\)
Chọn D.
II. TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương pháp:
a) Thực hiện các phép toán với phân số.
b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).
Cách giải:
a) \(\dfrac{1}{{12}} + x = \dfrac{{ - 11}}{{12}}\)
\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 11}}{{12}} - \dfrac{1}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 11 - 1}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 12}}{{12}} = - 1\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - 1\)
b) \(\dfrac{{2x - 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2x - 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\) | Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2x - 1 = - 9\\2x = - 8\\x = - 4\end{array}\) |
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = - 4\)
Bài 2:
Phương pháp:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.
Cách giải:
Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là \(x,y,z\) (điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))
Vì đội I có nhiều hơn đội II là \(4\) người nên: \(x - y = 4\)
Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:
\(4x = 6y = 8z\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 48\)
Từ \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = 48 \Rightarrow x = 12\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = 48 \Rightarrow x = 8\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = 48 \Rightarrow x = 6\) (tmđk)
Vậy số công nhân của \(3\) đội lần lượt là: \(12\) công nhân, \(8\) công nhân, \(6\) công nhân.
Bài 3:
Phương pháp:
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Cách giải:
a) Thu gọn:
\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5 + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2} + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\\A\left( x \right) = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4} - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\\B\left( x \right) = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right) + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\\B\left( x \right) = \,\,\,\,\,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\end{array}\)
b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\\ = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\end{array}\)
\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\\ = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right) - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\\ = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right) + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\\ = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\end{array}\)
c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.
Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).
Vì \({x^4}\, > 0,\,\,\forall \,x\) và \({x^2} > 0,\,\forall \,x\) nên \(C\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x.\)
\( \Rightarrow \) không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).
\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.
Bài 4: Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c) Chứng minh \(DB = DA\) hay D là trung điểm của AB.
Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)
Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)
\(AB = AC\) và \(\angle B = \angle C\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)
b) Chứng minh \(AD = DH\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\) (2)
Mà \(\angle {H_2} = \angle {A_2}\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)
Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Tam giác \(DHA\) có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)
c)
Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)
Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)
Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB = DH\)
Mặt khác: \(AD = DH\) (chứng minh a))
Suy ra: \(AD = DB\) Tức D là trung điểm của AB.
Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}2DC < AC + BC\\2BE < AB + BC\\2AH < AB + BC\\ \Rightarrow 2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)\\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,DC + BE + AH < AB + AC + BC\end{array}\)
Mà \(DC = BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow DC + BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.BE + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3BG + AH < AB + AC + BC\\Hay\,\,AB + AC + BC > AH + 3BG\,\end{array}\)
Vậy: \(AB + AC + BC > AH + 3BG\)
Câu 5:
Phương pháp:
Chứng minh \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.
*Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.
Cách giải:
Ta có:
\(f\left( 5 \right) = 125.a + 25.b + 5.c + d\)
\(f\left( 4 \right) = 64a + 16.b + 4.c + d\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) - f\left( 4 \right) = 61a + 9b + c = 2019\)
Lại có:
\(f\left( 7 \right) = 343.a + 49.b + 7c + d\)
\(f\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\\ = 335a + 45b + 5c\\ = 5.\left( {67a + 9b + c} \right)\\ = 5.\left( {61a + 9b + c + 6a} \right)\\ = 5.\left( {2019 + 6a} \right)\end{array}\)
Vì \(5.\left( {2019 + 6a}\right) \vdots 5\) nên \(f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) \vdots 5\) hay \( f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right)\) là hợp số. (đpcm).
Kỳ thi học kì 2 Toán 7 là một bước quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Để giúp các em đạt kết quả tốt nhất, loigiai.com.vn cung cấp Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức cùng với đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu.
Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức bao gồm các dạng bài tập khác nhau, tập trung vào các chủ đề chính sau:
Sau khi hoàn thành bài thi, các em có thể đối chiếu với đáp án chi tiết và lời giải của loigiai.com.vn để tự đánh giá kết quả và rút kinh nghiệm. Lời giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức: 3x + 5y khi x = 2 và y = -1.
Giải:
Thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức, ta có:
3x + 5y = 3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1
Vậy, giá trị của biểu thức là 1.
Luyện tập thường xuyên là yếu tố quan trọng để đạt kết quả tốt trong kỳ thi học kì 2 Toán 7. Các em nên giải nhiều đề thi khác nhau để làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. loigiai.com.vn cung cấp một kho đề thi phong phú, đáp ứng nhu cầu luyện tập của các em.
Ngoài Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 1 - Kết nối tri thức là một công cụ hữu ích giúp các em học sinh ôn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi. Hãy sử dụng đề thi này một cách hiệu quả để đạt kết quả cao nhất!
| Chủ đề | Nội dung |
|---|---|
| Số học | Các phép toán, tỉ số, phần trăm |
| Đại số | Biểu thức, phương trình, bất đẳng thức |
| Hình học | Tam giác, tứ giác, đường thẳng |
| Nguồn: loigiai.com.vn | |
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
