Trắc nghiệm Bài 1: Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương Toán 7 Cánh diều

Đặc điểm của hình hộp chữ nhật

Quan sát hình vẽ, hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có:

+ \(6\) mặt: \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ADD'A',\)\(BCC'B',\,\,ABB'A',\,\,DCD'C'\)

+ \(8\) đỉnh: \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,A',\,\,B',\,\,C',\,\,D'\)

+ \(12\) cạnh: \(AB,\,\,A'B',\,\,BC,\,\,B'C',\,\,CD,\,\,C'D',\,\,DA,\)\(D'A',\,\,AA',\,\,BB',\,\,CC',\,\,DD'\)

Vậy hình hộp chữ nhật có \(6\) mặt, \(8\) đỉnh, \(12\) cạnh.

Đặc điểm của hình hộp chữ nhật

Quan sát hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), ta thấy:

+ \(AB = CD = A'B' = C'D'\)

+ \(B'C' = BC = A'D' = AD\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng và đáp án B, C, D sai.

Đặc điểm của hình lập phương

Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.

Ta đi tính diện tích xung quanh \({S_2}\), diện tích trần \({S_1}\).

Từ đó, diện tích cần quét vôi là \(S = \left( {{S_1} + {S_2}} \right) - 5,80\).

Diện tích trần nhà là: S₁ = 4,5 . 3,8 = 17,1 (m²)

Diện tích của bốn bức tường là: S₂ = 2. (4,5 + 3,8) . 3,2 = 53,12 (m²)

Từ đó, diện tích cần quét vôi là: \(S = \left( {{S_1} + {S_2}} \right) - 5,80\)= 17,1 + 53,12 – 5,8 = 64,42 (m²)

Vậy diện tích cần quét vôi là 64,42 (m²)

Gọi độ dài các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CC'\) lần lượt là \(a,\,\,b,{\rm{ }}c\left( {a,\,\,b,{\rm{ }}c > 0;\,\,cm} \right)\)

Diện tích các mặt đã cho là tích của hai kích thước. Thể tích của hình hộp là tích của ba kích thước. Vì vậy ta cần sử dụng cáctích của từng cặp hai kích thước để đưa về tích của ba kích thước.

Gọi độ dài các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CC'\) lần lượt là \(a,\,\,b,{\rm{ }}c\,\,\left( {a,\,\,b,{\rm{ }}c > 0;\,\,cm} \right)\)

1. a) Theo đề bài, ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}ab = 108\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\bc = 72\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\ca = 96\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ab.bc.ca = 108.72.96\)

\( \Rightarrow {\left( {abc} \right)^2} = 746496\)\( \Rightarrow abc = 864\,\left( {c{m^3}} \right)\)\( \Rightarrow V = abc = 864\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật: V = chiều dài . chiều rộng . chiều cao

V = a. 2a. 4a = 8a³ ( đvtt)

Tính độ dài chiều rộng và chiều cao của hình hộp

Thể tích hình hộp chữ nhật: V = chiều dài . chiều rộng . chiều cao

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là: \(6.\frac{1}{3} = 2\,\left( {cm} \right)\)

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: 4 . 2 = 8 ( cm)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: 6 . 2 . 8 = 96 ( cm³)

Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a³

Thể tích hình lập phương đó là:

V = 4³ = 64 (cm³)

Tính thể tích nước ban đầu

Tính thể tích phần bể chứa nước lúc sau

Tính chiều cao mực nước lúc sau

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

\(V = 80.50.25 = 100000\;c{m^3}\)

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng 20000 cm³. Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

\({V_1} = V + 20000 = 100000 + 20000 = 120000\;c{m^3}\)

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi.

Gọi chiều cao mực nước lúc sau là h cm. Ta có:

\(V = 80.50.h = 120000 \Rightarrow h = \frac{V}{{80.50}} = \frac{{120000}}{{80.50}} = 30\;cm\)

Tính diện tích phần cần sơn

Tính tiền = diện tích cần sơn . giá tiền

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương.\( \Rightarrow \)Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một mặt thùng sắt là:

\(S = 0,{8^2} = 0,64\;{m^2}\)

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

\({S_{mt}} = {S_{mn}} = 5S = 5.0,64 = 3,2\;{m^2}\)

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

\(({S_{mt}} + {S_{mn}}).16000 = (3,2 + 3,2).16000 = 6,4.16000 = 102400\)( đồng)

Hình hộp chữ nhật gồm $6$ mặt:

\(\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\,\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)\)

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' không có mặt phẳng $\left( {AB'C'D} \right)$ nên đáp án D sai.

Hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh:

 \(\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}\)

Nên C sai.

Ta có $AC'$ cắt $DB'$ vì $AD$ // $B'C'$ , $AD = B'C'$ nên $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$ cắt $DB'$ nên A đúng.

 $AC'$ không cắt $BC$ vì chúng không có điểm chung nên B sai.

$AB$ và $CD$ song song nên chúng không cắt nhau nên D sai.

$AC$ và $BD$ cắt nhau nên C sai.

Mặt phẳng chứa đường thẳng \(A'B\) và \(CD'\) là mặt phẳng đi qua bốn điểm \(A',\,B,\,C,\,D'\) hay chính là $mp \left( {A'BCD'} \right).$

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật \(AA' = BB' = CC' = DD'\) ; \(AB = DC = A'B' = D'C'\) ;

\(AA' = BB' = CC' = DD'\) .

Nên D sai.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mp \(\left( {DCC'D'} \right)\) ; mp \(\left( {ABCD} \right)\) và mp \(\left( {A'B'C'D'} \right)\); mp \(\left( {ADD'A'} \right)\) và mp \(\left( {BCC'B'} \right)\)

Vì $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm $AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'$ nên \(KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN\)

Suy ra bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có \(KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'\) nên mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$

Ta thấy mp \(\left( {MNIK} \right)\) và mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(MN\) nên chúng không song song.

Tìm đoạn thẳng thuộc cả hai mặt phẳng.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Ta có \(O \in AC\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)\), \(O \in BD\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)\), do đó $O$ thuộc cả hai mặt phẳng trên. (1)

Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\) .

Chứng minh tương tự, \(O'\) thuộc cả hai mặt phẳng trên. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng \(OO'\) .

Mối quan hệ giữa các cạnh trong hình hộp chữ nhật từ đó suy ra số đo góc.

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$ .

Tam giác $AB'C$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(\widehat {AB'C} = {60^0}\) .

+ Gọi độ dài hình lập phương là \(x\) , dựa vào dữ kiện đề bài để suy ra phương trình ẩn \(x\) .

+ Giải phương trình ta tìm được cạnh của hình lập phương

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm \(216:6 = 36\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $x\,\left( {cm} \right)$ , \(x > 0\)

Phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 36\)

\(\Leftrightarrow 4x = 32\)

 \(\Leftrightarrow x = 8\) (TM )

 Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng $8cm$ .

Sử dụng công thức thể tích của hình hộp chữ nhật $V = abc$ ($a,b,c$ là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = a.2a.\dfrac{a}{2} = {a^3}\) (đvtt)

Áp dụng công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a là \(V = {a^3}.\)

Thể tích hình lập phương cạnh \(5\,cm^3\) là:

\(V = {5^3} = 125\;c{m^3}\)

Từ kiến thức lý thuyết về hình hộp chữ nhật kết hợp với tính chất của hình chữ nhật để giải bài toán và chọn đáp án đúng.

Vì \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên $ABCD,$ \(ABB'A'\) là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có: $AD = BC = 3cm,DC = AB = 6cm$

Xét hình chữ nhật \(ABB'A'\) có: \(A'B' = AB = 6\;cm\)

Vậy \(A'B'\) và $AD$ lần lượt dài $6 cm$ và $3 cm.$

Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật $V=abc$ (với $a,b,c$ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao) để giải bài toán.

Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật nên ta tính được thể tích bể nước là: \(V = 4.3.2,5 = 30\;{m^3}\)

Vì \(\dfrac{3}{4}\)bể đang chứa nước nên thể tích phần bể chứa nước là: Vchứa nước\( = \dfrac{3}{4}V = \dfrac{3}{4}30 = 22,5\;{m^3}\)

Vậy thể tích phần bể không chứa nước là: Vkhông chứa nước = V \( - \) Vchứa nước\( = 30 - 22,5 = 7,5\;{m^3}\)

- Áp dụng công thức tính thể tính hình lập phương $V=a^3$ (với $a$ là độ dài một cạnh hình lập phương) để giải bài toán.

Gọi chiều dài một cạnh của hình lập phương $A$ là $a$ .

Vì hình lập phương $A$ có cạnh bằng \(\dfrac{2}{3}\) cạnh của hình lập phương $B$ nên chiều dài $1$ cạnh của hình lập phương $B$ là \(\dfrac{3}{2}a\).

Thể tích hình lập phương A là: \({V_A} = {a^3}\)

Thể tích hình lập phương B là: \({V_B} = {\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)^3} = \dfrac{{27}}{8}{a^3}\)

\( \Rightarrow {V_B} = \dfrac{{27}}{8}{V_A} \Rightarrow {V_A} = \dfrac{8}{{27}}{V_B}\)

Vậy thể tích hình lập phương $A$ bằng $\dfrac{8}{{27}}$ thể tích hình lập phương $B$ .

- Áp dụng công thức tính diện tích hình vuông và kiến thức lý thuyết về hình lập phương để giải bài toán.

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương \( \Rightarrow \)Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một mặt thùng sắt là:

\(S = 0,{8^2} = 0,64\;{m^2}\)

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

\({S_{mt}} = {S_{mn}} = 5S = 5.0,64 = 3,2\;{m^2}\)

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

\(({S_{mt}} + {S_{mn}}).15000 = (3,2 + 3,2).15000 = 6,4.15000 = 96000\) đồng.

- Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật $V=abc$ (với $a,b,c$ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao) để giải bài toán.

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

$V = 80.50.35 = 140000\;c{m^3}$

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng $20000$ $cm^3$. Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

${V_1} = V + 20000 = 140000 + 20000 = 160000\;c{m^3}$

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi.

Gọi chiều cao mực nước lúc sau là $h$ cm. Ta có:

 $V = 80.50.h = 160000 $$\Rightarrow h = \dfrac{V}{{80.50}} = \dfrac{{160000}}{{80.50}} = 40\;cm$

Đặc điểm của hình hộp chữ nhật

Quan sát hình vẽ, hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có:

+ \(6\) mặt: \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ADD'A',\)\(BCC'B',\,\,ABB'A',\,\,DCD'C'\)

+ \(8\) đỉnh: \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,A',\,\,B',\,\,C',\,\,D'\)

+ \(12\) cạnh: \(AB,\,\,A'B',\,\,BC,\,\,B'C',\,\,CD,\,\,C'D',\,\,DA,\)\(D'A',\,\,AA',\,\,BB',\,\,CC',\,\,DD'\)

Vậy hình hộp chữ nhật có \(6\) mặt, \(8\) đỉnh, \(12\) cạnh.

Đặc điểm của hình hộp chữ nhật

Quan sát hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), ta thấy:

+ \(AB = CD = A'B' = C'D'\)

+ \(B'C' = BC = A'D' = AD\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng và đáp án B, C, D sai.

Đặc điểm của hình lập phương

Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.

Ta đi tính diện tích xung quanh \({S_2}\), diện tích trần \({S_1}\).

Từ đó, diện tích cần quét vôi là \(S = \left( {{S_1} + {S_2}} \right) - 5,80\).

Diện tích trần nhà là: S₁ = 4,5 . 3,8 = 17,1 (m²)

Diện tích của bốn bức tường là: S₂ = 2. (4,5 + 3,8) . 3,2 = 53,12 (m²)

Từ đó, diện tích cần quét vôi là: \(S = \left( {{S_1} + {S_2}} \right) - 5,80\)= 17,1 + 53,12 – 5,8 = 64,42 (m²)

Vậy diện tích cần quét vôi là 64,42 (m²)

Gọi độ dài các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CC'\) lần lượt là \(a,\,\,b,{\rm{ }}c\left( {a,\,\,b,{\rm{ }}c > 0;\,\,cm} \right)\)

Diện tích các mặt đã cho là tích của hai kích thước. Thể tích của hình hộp là tích của ba kích thước. Vì vậy ta cần sử dụng cáctích của từng cặp hai kích thước để đưa về tích của ba kích thước.

Gọi độ dài các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CC'\) lần lượt là \(a,\,\,b,{\rm{ }}c\,\,\left( {a,\,\,b,{\rm{ }}c > 0;\,\,cm} \right)\)

1. a) Theo đề bài, ta có:

 \(\left. \begin{array}{l}ab = 108\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\bc = 72\,\,\left( {c{m^2}} \right)\\ca = 96\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ab.bc.ca = 108.72.96\)

\( \Rightarrow {\left( {abc} \right)^2} = 746496\)\( \Rightarrow abc = 864\,\left( {c{m^3}} \right)\)\( \Rightarrow V = abc = 864\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích hình hộp chữ nhật: V = chiều dài . chiều rộng . chiều cao

V = a. 2a. 4a = 8a³ ( đvtt)

Tính độ dài chiều rộng và chiều cao của hình hộp

Thể tích hình hộp chữ nhật: V = chiều dài . chiều rộng . chiều cao

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là: \(6.\frac{1}{3} = 2\,\left( {cm} \right)\)

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: 4 . 2 = 8 ( cm)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: 6 . 2 . 8 = 96 ( cm³)

Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a³

Thể tích hình lập phương đó là:

V = 4³ = 64 (cm³)

Tính thể tích nước ban đầu

Tính thể tích phần bể chứa nước lúc sau

Tính chiều cao mực nước lúc sau

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

\(V = 80.50.25 = 100000\;c{m^3}\)

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng 20000 cm³. Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

\({V_1} = V + 20000 = 100000 + 20000 = 120000\;c{m^3}\)

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi.

Gọi chiều cao mực nước lúc sau là h cm. Ta có:

\(V = 80.50.h = 120000 \Rightarrow h = \frac{V}{{80.50}} = \frac{{120000}}{{80.50}} = 30\;cm\)

Tính diện tích phần cần sơn

Tính tiền = diện tích cần sơn . giá tiền

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương.\( \Rightarrow \)Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một mặt thùng sắt là:

\(S = 0,{8^2} = 0,64\;{m^2}\)

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

\({S_{mt}} = {S_{mn}} = 5S = 5.0,64 = 3,2\;{m^2}\)

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

\(({S_{mt}} + {S_{mn}}).16000 = (3,2 + 3,2).16000 = 6,4.16000 = 102400\)( đồng)

Hình hộp chữ nhật gồm $6$ mặt:

\(\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\,\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)\)

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' không có mặt phẳng $\left( {AB'C'D} \right)$ nên đáp án D sai.

Hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh:

 \(\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}\)

Nên C sai.

Ta có $AC'$ cắt $DB'$ vì $AD$ // $B'C'$ , $AD = B'C'$ nên $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$ cắt $DB'$ nên A đúng.

 $AC'$ không cắt $BC$ vì chúng không có điểm chung nên B sai.

$AB$ và $CD$ song song nên chúng không cắt nhau nên D sai.

$AC$ và $BD$ cắt nhau nên C sai.

Mặt phẳng chứa đường thẳng \(A'B\) và \(CD'\) là mặt phẳng đi qua bốn điểm \(A',\,B,\,C,\,D'\) hay chính là $mp \left( {A'BCD'} \right).$

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật \(AA' = BB' = CC' = DD'\) ; \(AB = DC = A'B' = D'C'\) ;

\(AA' = BB' = CC' = DD'\) .

Nên D sai.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mp \(\left( {DCC'D'} \right)\) ; mp \(\left( {ABCD} \right)\) và mp \(\left( {A'B'C'D'} \right)\); mp \(\left( {ADD'A'} \right)\) và mp \(\left( {BCC'B'} \right)\)

Vì $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm $AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'$ nên \(KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN\)

Suy ra bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có \(KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'\) nên mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$

Ta thấy mp \(\left( {MNIK} \right)\) và mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(MN\) nên chúng không song song.

Tìm đoạn thẳng thuộc cả hai mặt phẳng.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Ta có \(O \in AC\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)\), \(O \in BD\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)\), do đó $O$ thuộc cả hai mặt phẳng trên. (1)

Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\) .

Chứng minh tương tự, \(O'\) thuộc cả hai mặt phẳng trên. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng \(OO'\) .

Mối quan hệ giữa các cạnh trong hình hộp chữ nhật từ đó suy ra số đo góc.

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$ .

Tam giác $AB'C$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(\widehat {AB'C} = {60^0}\) .

+ Gọi độ dài hình lập phương là \(x\) , dựa vào dữ kiện đề bài để suy ra phương trình ẩn \(x\) .

+ Giải phương trình ta tìm được cạnh của hình lập phương

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm \(216:6 = 36\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $x\,\left( {cm} \right)$ , \(x > 0\)

Phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 36\)

\(\Leftrightarrow 4x = 32\)

 \(\Leftrightarrow x = 8\) (TM )

 Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng $8cm$ .

Sử dụng công thức thể tích của hình hộp chữ nhật $V = abc$ ($a,b,c$ là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = a.2a.\dfrac{a}{2} = {a^3}\) (đvtt)

Áp dụng công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a là \(V = {a^3}.\)

Thể tích hình lập phương cạnh \(5\,cm^3\) là:

\(V = {5^3} = 125\;c{m^3}\)

Từ kiến thức lý thuyết về hình hộp chữ nhật kết hợp với tính chất của hình chữ nhật để giải bài toán và chọn đáp án đúng.

Vì \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên $ABCD,$ \(ABB'A'\) là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có: $AD = BC = 3cm,DC = AB = 6cm$

Xét hình chữ nhật \(ABB'A'\) có: \(A'B' = AB = 6\;cm\)

Vậy \(A'B'\) và $AD$ lần lượt dài $6 cm$ và $3 cm.$

Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật $V=abc$ (với $a,b,c$ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao) để giải bài toán.

Vì bể nước có dạng hình hộp chữ nhật nên ta tính được thể tích bể nước là: \(V = 4.3.2,5 = 30\;{m^3}\)

Vì \(\dfrac{3}{4}\)bể đang chứa nước nên thể tích phần bể chứa nước là: Vchứa nước\( = \dfrac{3}{4}V = \dfrac{3}{4}30 = 22,5\;{m^3}\)

Vậy thể tích phần bể không chứa nước là: Vkhông chứa nước = V \( - \) Vchứa nước\( = 30 - 22,5 = 7,5\;{m^3}\)

- Áp dụng công thức tính thể tính hình lập phương $V=a^3$ (với $a$ là độ dài một cạnh hình lập phương) để giải bài toán.

Gọi chiều dài một cạnh của hình lập phương $A$ là $a$ .

Vì hình lập phương $A$ có cạnh bằng \(\dfrac{2}{3}\) cạnh của hình lập phương $B$ nên chiều dài $1$ cạnh của hình lập phương $B$ là \(\dfrac{3}{2}a\).

Thể tích hình lập phương A là: \({V_A} = {a^3}\)

Thể tích hình lập phương B là: \({V_B} = {\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)^3} = \dfrac{{27}}{8}{a^3}\)

\( \Rightarrow {V_B} = \dfrac{{27}}{8}{V_A} \Rightarrow {V_A} = \dfrac{8}{{27}}{V_B}\)

Vậy thể tích hình lập phương $A$ bằng $\dfrac{8}{{27}}$ thể tích hình lập phương $B$ .

- Áp dụng công thức tính diện tích hình vuông và kiến thức lý thuyết về hình lập phương để giải bài toán.

Thùng sắt (không nắp) có dạng hình lập phương \( \Rightarrow \)Thùng sắt có 5 mặt bằng nhau.

Diện tích một mặt thùng sắt là:

\(S = 0,{8^2} = 0,64\;{m^2}\)

Ta có diện tích mặt trong thùng sắt bằng diện tích mặt ngoài thùng sắt. Vậy diện tích mặt trong và mặt ngoài thùng sắt là:

\({S_{mt}} = {S_{mn}} = 5S = 5.0,64 = 3,2\;{m^2}\)

Số tiền người thuê sơn thùng sắt cần trả là:

\(({S_{mt}} + {S_{mn}}).15000 = (3,2 + 3,2).15000 = 6,4.15000 = 96000\) đồng.

- Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật $V=abc$ (với $a,b,c$ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao) để giải bài toán.

Thể tích phần bể chứa nước ban đầu là:

$V = 80.50.35 = 140000\;c{m^3}$

Sau khi cho vào một hòn đá thể tích tăng $20000$ $cm^3$. Vậy thể tích phần bể chứa nước lúc sau là:

${V_1} = V + 20000 = 140000 + 20000 = 160000\;c{m^3}$

Vì chiều dài và chiều rộng bể nước không thay đổi nên sự thay đổi là do chiều cao mực nước thay đổi.

Gọi chiều cao mực nước lúc sau là $h$ cm. Ta có:

 $V = 80.50.h = 160000 $$\Rightarrow h = \dfrac{V}{{80.50}} = \dfrac{{160000}}{{80.50}} = 40\;cm$