Trắc nghiệm Bài 8: Đại lượng tỉ lệ nghịch Toán 7 Cánh diều

Xét xem tất cả các tích các giá trị tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không?

Nếu bằng nhau thì hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu không bằng nhau thì hai đại lượng không tỉ lệ nghịch.

Xét các tích giá trị của \(x\) và \(y\) ta được: \(10.10 = 20.5\) \( = 25.4 = 30.\dfrac{{10}}{3}\) \( = 40.2,5 = 100\).

Nên \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Từ tính chất tỉ lệ nghịch ta suy ra tỉ lệ thức.

+Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hoàn thành.

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_1} = 4,{x_2} = 3\) và \({y_1} + {y_2} = 14\)

Do đó \(4{y_1} = 3{y_2} \) suy ra \(\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \) suy ra \({y_1} = 2.3 = 6\);

\(\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \) suy ra \({y_2} = 2.4 = 8\)

Vậy \({y_2} = 8.\)

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và định nghĩa tỉ lệ thuận.

Vì \(y\)tỉ lệ nghịch với \(x\) theo tỉ số \({k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)\) nên \(y = \dfrac{{{k_1}}}{x}\).

Và \(x\) tỉ lệ nghịch với \(z\) theo tỉ số \({k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)\) nên \(x = \dfrac{{{k_2}}}{z}\).

Thay \(x = \dfrac{{{k_2}}}{z}\) vào \(y = \dfrac{{{k_1}}}{x}\) ta được \(y = \dfrac{{{k_1}}}{{\dfrac{{{k_2}}}{z}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}z\).

Nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.\)

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi thời gian công nhân làm một công việc đó là \(x\left( {x > 0} \right)\) (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

8 . 35 = 40.x \( \Rightarrow 280 = 40.x \Rightarrow x = 7\)(giờ) ( thỏa mãn)

Vậy nếu có \(40\)công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 7 giờ.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\).

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: \(x.4 = y.7 = z.9\) và \(x - y = 3\)

Suy ra \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4}\) . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x - y}}{{7 - 4}} = \dfrac{3}{3} = 1\)

Do đó \(x = 7;y = 4\) .

Vậy đội thứ nhất có \(7\) máy.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán. 

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm \(15\) công nhân là \(x\,\left( {0 < x < 12} \right)\) (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm \(15\) công nhân thì số công nhân sau khi tăng là \(45 + 15 = 60\) công nhân.

Theo bài ra ta có:

\(45.12 = 60.x \Rightarrow 60x = 540 \Rightarrow x = 9\) giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi \(12 - 9 = 3\) giờ.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán. 

Gọi \({v_1};{v_2}\) lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai (km/giờ) \(\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)\)

Gọi \({t_1};{t_2}\) lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai (giờ) \(\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)\)

Từ đề bài ta có \({v_1} = \dfrac{{60}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{3}{5}{v_2}\) và \({t_1} = {t_2} + 4\)

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

\({v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}\left( {{t_2} + 4} \right) = {v_2}.{t_2}\) \( \Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}.{t_2} + \dfrac{{12}}{5}{v_2} = {v_2}.{t_2}\)

\( \Rightarrow 12{v_2} = 2{v_2}{t_2}\) mà \({v_2} > 0\) nên \({t_2} = \dfrac{{12{v_2}}}{{2{v_2}}} = 6\) ( thỏa mãn)

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6 giờ.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) ($a\ne 0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

\(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\)

Sử dụng tính chất tỉ lệ nghịch:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(7.4 = 5.y \Rightarrow y = \dfrac{{28}}{5} = 5,6.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\) thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và \(x = - \dfrac{1}{2}\) thì \(y = 8\)

Nên hệ số tỉ lệ là \(a = x.y = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).8 = - 4\)

Công thức biểu diễn \(y\) theo \(x\) là \(y = \dfrac{{ - 4}}{x}\)

Vậy \(a = - 4;y = \dfrac{{ - 4}}{x}.\)

+ Từ tính chất tỉ lệ nghịch ta suy ra tỉ lệ thức.

+Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hoàn thành.

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_1} = 4,{x_2} = 3\) và \({y_1} + {y_2} = 14\)

Do đó \(4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6\); \(\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8\)

Vậy \({y_2} = 8.\)

+ Từ tính chất tỉ lệ nghịch ta suy ra tỉ lệ thức.

+Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hoàn thành.

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_2} = - 4,{y_1} = - 10\) và \(3{x_1} - 2{y_2} = 32\)

Nên ta có \({x_1}.\left( { - 10} \right) = \left( { - 4} \right).{y_2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \dfrac{{{y_2}}}{{ - 10}} = \dfrac{{3{x_1} - 2{y_2}}}{{3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 10} \right)}}\) \( = \dfrac{{32}}{8} = 4\)

Do đó \(\dfrac{{{x_1}}}{{ - 4}} = 4 \Rightarrow {x_1} = - 16\) và \(\dfrac{{{y_2}}}{{ - 10}} = 4 \Rightarrow {y_2} = - 40\)

Vậy \({x_1} = - 16;{y_2} = - 40.\)

Sử dụng công thức: “Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian” và định nghĩa tỉ lệ nghịch.

Từ bài ra ta có: \(v.t = 135 \Rightarrow v = \dfrac{{135}}{t};\,t = \dfrac{{135}}{v}\)

Nên \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ \(135.\)

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi thời gian \(40\) công nhân làm một công việc đó là \(x\left( {x > 0} \right)\) (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

\(8.30 = 40.x\) \( \Rightarrow 40x = 240 \Rightarrow x = 6\) giờ.

Vậy $40$công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 6 giờ.

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và định nghĩa tỉ lệ thuận

Vì \(y\) tỉ lệ nghịch với $x$ theo tỉ số \({k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)\) nên \(y = \dfrac{{{k_1}}}{x}\)

Và \(x\) tỉ lệ nghịch với \(z\) theo tỉ số \({k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)\) nên \(x = \dfrac{{{k_2}}}{z}\)

Thay \(x = \dfrac{{{k_2}}}{z}\) vào \(y = \dfrac{{{k_1}}}{x}\) ta được \(y = \dfrac{{{k_1}}}{{\dfrac{{{k_2}}}{z}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}z\)

Nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.\)

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Đổi $2$ giờ $15$ phút \( = 2,25\) giờ.

Gọi thời gian ô tô chạy A đến B với vận tốc $45$ km/h là \(x\,\left( {x > 0} \right)\) (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có \(50.2,25 = 45.x \Rightarrow 45x = 112,5\)\( \Rightarrow x = 2,5\) giờ.

Vậy thời gian cần tìm là \(2,5\) giờ.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: \(x.4 = y.6 = z.8\) và \(x - y = 2\)

Suy ra \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4}\) . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x - y}}{{6 - 4}} = \dfrac{2}{2} = 1\)

Do đó \(x = 6;y = 4\) .

Vậy đội thứ nhất có \(6\) máy.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm $15$ công nhân là \(x\,\left( {0 < x < 12} \right)\) (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm \(15\) công nhân thì số công nhân sau khi tăng là \(45 + 15 = 60\) công nhân.

Theo bài ra ta có

\(45.12 = 60.x \Rightarrow 60x = 540 \Rightarrow x = 9\) giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi $12 - 9 = 3$ giờ.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán. 

Gọi \({v_1};{v_2}\) lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai. (km/giờ) \(\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)\)

Gọi \({t_1};{t_2}\) lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai. (giờ) \(\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)\)

Từ đề bài ta có \({v_1} = \dfrac{{60}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{3}{5}{v_2}\) và \({t_1} = {t_2} + 4\)

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

\({v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \)\(\Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}\left( {{t_2} + 4} \right) = {v_2}.{t_2}\)\( \Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}.{t_2} + \dfrac{{12}}{5}{v_2} = {v_2}.{t_2}\)

\( \Rightarrow 12{v_2} = 2{v_2}{t_2}\) mà \({v_2} > 0\) nên \({t_2} = \dfrac{{12{v_2}}}{{2{v_2}}} = 6\)

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6 giờ.

Áp dụng định nghĩa tỉ lệ nghịch và định nghĩa tỉ lệ thuận.

Vì \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{4}{3}\) nên \(y = \dfrac{4}{3}x.\)

Vì \(x\) tỉ lệ nghịch với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{6}{7}\) nên \(x = \dfrac{6}{{7z}}\)

Thay \(x = \dfrac{6}{{7z}}\) vào \(y = \dfrac{4}{3}x\) ta được \(y = \dfrac{4}{3}.\dfrac{6}{{7z}} = \dfrac{8}{{7z}}\) hay \(y.z = \dfrac{8}{7}.\)

Do đó \(y\) tỉ lệ nghịch với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{8}{7}.\)

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: ở đây thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Đổi \(24\) phút \( = \dfrac{2}{5}\) giờ, \(10\) phút \( = \dfrac{1}{6}\) giờ.

Gọi vận tốc khi đi bộ của Mai là \(x\,\left( {x > 0} \right)\) (km/h).

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có \(\dfrac{2}{5}.x = \dfrac{1}{6}.12 \Rightarrow \dfrac{2}{5}x = 2 \Rightarrow x = 5\) (km/h).

Vậy vận tốc khi đi bộ của Mai là \(5\) km/h.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi khối lượng của bốn loại cà phê lần lượt là \(x,y,z,t\,\left( {kg} \right)\), \(\left( {0 < x,y,z,t < 300} \right)\).

Tổng số cà phê bốn loại là \(300kg\) nên \(x + y + z + t = 300.\)

Vì khối lượng cà phê loại 1, loại 2, loại 3, loại 4 tỉ lệ nghịch với \(4;3;2;1\) nên ta có:

\(4x = 3y = 2z = t\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{t}{1}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{t}{1} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{{300}}{{\dfrac{{25}}{{12}}}} = 144\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{4}.144 = 36\)

\(y = \dfrac{1}{3}.144 = 48\)

\(z = \dfrac{1}{2}.144 = 72\)

\(t = 1.144 = 144\)

Khối lượng cà phê loại \(4\) là \(144\) kg.

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: Ở đây năng suất công nhân và thời gian làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi thời gian hoàn thành công việc của cơ sở sản xuất ban đầu và sau khi cải tiến kĩ thuật lần lượt là \({t_1},\,{t_2}\,\left( {{t_1},{t_2} > 0} \right)\) (giờ), năng suất lao động của công nhân là \({x_1}\,\left( {{x_1} > 0} \right)\) (sản phẩm/ giờ).

Năng suất lao động của công nhân sau khi cải tiến kĩ thuật là \({x_2} = {x_1} + \dfrac{{25}}{{100}}{x_1} = \dfrac{{5{x_1}}}{4}\) (sản phẩm/ giờ).

Vì năng suất công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\({x_1}.{t_1} = {x_2}.{t_2}\) \( \Rightarrow {x_1}.{t_1} = \dfrac{{5{x_1}}}{4}.{t_2}\) \( \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{x_1}.{t_1}}}{{\dfrac{5}{4}{x_1}}} = \dfrac{4}{5}{t_1} = \dfrac{{80}}{{100}}{t_1} = 80\% \,{t_1}.\)

Do đó thời gian hoàn thành công việc sau khi cải tiến kĩ thuật bằng \(80\% \) thời gian lúc đầu.

Vậy thời gian làm việc sau khi cải tiến kĩ thuật giảm \(100\% - 80\% = 20\% \).

+ Xác định rõ các đại lượng có trên đề bài.

+ Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng: Ở đây số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi thời gian hoàn thành công việc của ba đội lần lượt là \({t_1},{t_2},{t_3}\,\left( {{t_1},{t_2},{t_3} > 0} \right)\) (ngày).

Gọi số công nhân của ba đội lần lượt là \({x_1},{x_2},{x_3}\,\left( {{x_1},{x_2},{x_3} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) (người).

Theo đề bài, tổng số công nhân của đội 1 và đội 2 gấp 5 lần số công nhân của đội 3 nên ta có \({x_1} + {x_2} = 5{x_3}\)

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\({x_1}.{t_1} = {x_2}.{t_2} = {x_3}.{t_3}\) hay \(\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{5}{{12}}}} = 12{x_3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = 12{x_3} \Rightarrow \dfrac{1}{{{t_3}}}.12{x_3} = {x_3} \Rightarrow {t_3} = \dfrac{{12{x_3}}}{{{x_3}}} = 12\).

Vậy đội 3 làm xong công việc trong \(12\) ngày.

+ Gọi ba phần được chia ra lần lượt là \(x,y,z\,\,\left( {x,y,z\, > 0} \right).\)

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để giải bài toán.

Gọi ba phần được chia ra từ số A lần lượt là \(x,y,z\,\,\left( {x,y,z\, > 0} \right).\)

Theo đề bài, ba phần tỉ lệ nghịch với các số \(\dfrac{5}{2};\dfrac{4}{3};6\) nên ta có:

\(x.\dfrac{5}{2} = y.\dfrac{4}{3} = z.6\) hay \(\dfrac{x}{{\dfrac{2}{5}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{6}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}}\)

Tổng các bình phương của ba phần là \(24309\) nên \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 24309.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{\dfrac{4}{{25}} + \dfrac{9}{{16}} + \dfrac{1}{{36}}}} = \dfrac{{24309}}{{\dfrac{{2701}}{{3600}}}} = 32400\)

+) \(\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = 32400 \Rightarrow {x^2} = 5184 \Rightarrow x = \sqrt {5184} = 72\) (vì \(x > 0\)).

+) \(\dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = 32400 \Rightarrow {y^2} = \dfrac{9}{{16}}.32400 = 18225 \Rightarrow y = \sqrt {18225} = 135\) (vì \(y > 0\)).

+) \(\dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}} = 32400 \Rightarrow {z^2} = \dfrac{1}{{36}}.32400 = 900 \Rightarrow z = \sqrt {900} = 30\) (vì \(z > 0\)).

\( \Rightarrow A = x + y + z = 72 + 135 + 30 = 237.\)

Vậy số tự nhiên A là \(237.\)