Trắc nghiệm Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc Toán 7 Cánh diều

+ Kẻ đoạn thẳng \(AD\).

+ Từ tính chất của hai đường thẳng song song suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” để chứng minh \(\Delta ABD = \Delta DCA\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Kẻ đoạn thẳng \(AD\)

Vì \(AB//CD\) (gt) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc so le trong)

Vì \(AC//BD\) (gt) nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(DCA\) có:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

\(AD\) là cạnh chung

\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\,(g.c.g) \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng)

+ Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)

+ Sử dụng tính chất tia phân giác, định lí tổng ba góc của một tam giác chứng minh \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC} = 60^\circ \).

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” ta chứng minh \(\Delta BIE = \Delta BIH\), \(\Delta CID = \Delta CIH\).

+ Từ đó ta tính được độ dài \(ID\).

Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))

Mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Ta lại có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} + \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)

Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))

Mà \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Mặt khác: \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BIE} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Khi đó \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh) \((1)\)

Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)

Suy ra \(\widehat {BIH} = \widehat {HIC} = \dfrac{1}{2}.\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)\((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC}\)

Xét tam giác \(BIE\) và tam giác \(BIH\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)

\(BI\) là cạnh chung

\(\widehat {BIE} = \widehat {BIH}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BIE = \Delta BIH \,(g.c.g) \Rightarrow IE = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((3)\)

Xét tam giác \(CID\) và tam giác \(CIH\) có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt)

\(CI\) là cạnh chung

\(\widehat {CID} = \widehat {HIC}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta CID = \Delta CIH \,(g.c.g) \Rightarrow ID = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra \(ID = IE = 2cm\)

+ Từ tính chất của hai đường song song suy ra các cặp góc bằng nhau, từ đó dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh bằng nhau ta tìm mối liên hệ giữa chúng để suy ra điều phải chứng minh

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $FBD$ có:

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (hai góc so le trong).

$DF$ là cạnh chung

\(\widehat {{F_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\Delta DEF = \Delta FBD\,\,\,(g.c.g)\)

Suy ra $EF = BD$ (hai cạnh tương ứng)

 Mà $AD = BD$ nên $EF = AD$

Ta có : \(\widehat {{F_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị); \(\widehat {{D_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị)

 \( \Rightarrow \widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\left( { = \widehat B} \right).\).

Xét tam giác $ADE$ và tam giác $EFC$ có:

\(\widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\)(cmt)

\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\)(hai góc đồng vị)

$AD = EF\left( {cmt} \right)$

 \( \Rightarrow \Delta ADE = \Delta EFC\,\,\,(g.c.g).\) (1)

Tương tự ta chứng minh được \(\Delta EFC = \Delta DBF\,\,\,(g.c.g)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ADE = \Delta EFC = \Delta DBF\) (3)

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$ vuông tại $D.$

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).

Xét hai tam giác vuông $BDA$ và $AEC$ có:

\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về cạnh của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).

Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).

+Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).

Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).

Dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau

Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ACD\) có

+ \(AE = AD\left( {gt} \right)\)

 + Góc \(A\) chung

+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.

Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có

+ \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)

+ \(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)

+ \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)

Nên \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.

+ Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\)

 + Chứng minh \(AC = BK\) dựa vào hai tam giác bằng nhau \(AOC\) và \(BOK.\)

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(COD\) và \(KOD\) từ đó suy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\) Khi đó \(OD \bot OC \Rightarrow OD \bot CK \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {KOD} = 90^\circ \) ; \(AB \bot DK \Rightarrow \widehat {OBD} = \widehat {OBK} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(AOC\) và tam giác \(BOK\) có

+ \(\widehat {OAC} = \widehat {OBK} = 90^\circ \)

+ \(OA = OB\,\) (\(O\) là trung điểm của \(AB\))

+ \(\widehat {AOC} = \widehat {BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow OC = OK\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \(DOC\) và tam giác \(DOK\) có

+ \(OC = OK\) (cmt)

+ \(\widehat {DOC} = \widehat {DOK} = 90^\circ \)

+ Cạnh \(OD\) chung,

Suy ra \(\Delta DOC = \Delta DOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow CD = DK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có $DK = DB + BK$ mà \(AC = BK\)(cmt) và \(CD = DK\) (cmt) nên \(CD = AC + BD.\)

+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

Ta có:

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$)

Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)

Xét tam giác $AOM$ và tam giác $BOM$ có:

 \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)

 $OM$ là cạnh chung

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM (g.c.g)\)

Do đó $OA = OB;MA = MB$ (các cặp cạnh tương ứng).

Sử dụng hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn) 

Ta thấy hai tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).

Để tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là $AB = MN.$

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là \(\widehat C = \widehat M.\)

+ Kẻ đoạn thẳng \(AD\).

+ Từ tính chất của hai đường thẳng song song suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” để chứng minh \(\Delta ABD = \Delta DCA\). Từ đó suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

Kẻ đoạn thẳng \(AD\)

Vì \(AB//CD\) (gt) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc so le trong)

Vì \(AC//BD\) (gt) nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(DCA\) có:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

\(AD\) là cạnh chung

\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{D_2}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\,(g.c.g) \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BD\) (hai cạnh tương ứng)

+ Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)

+ Sử dụng tính chất tia phân giác, định lí tổng ba góc của một tam giác chứng minh \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC} = 60^\circ \).

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: “Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” ta chứng minh \(\Delta BIE = \Delta BIH\), \(\Delta CID = \Delta CIH\).

+ Từ đó ta tính được độ dài \(ID\).

Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Vì \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))

Mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Ta lại có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} + \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)

Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ \))

Mà \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = 60^\circ \) nên \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Mặt khác: \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BIE} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Khi đó \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh) \((1)\)

Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BIC}\) cắt \(BC\) tại \(H\)

Suy ra \(\widehat {BIH} = \widehat {HIC} = \dfrac{1}{2}.\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)\((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(\widehat {CID} = \widehat {BIE} = \widehat {BIH} = \widehat {HIC}\)

Xét tam giác \(BIE\) và tam giác \(BIH\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (cmt)

\(BI\) là cạnh chung

\(\widehat {BIE} = \widehat {BIH}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BIE = \Delta BIH \,(g.c.g) \Rightarrow IE = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((3)\)

Xét tam giác \(CID\) và tam giác \(CIH\) có:

\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt)

\(CI\) là cạnh chung

\(\widehat {CID} = \widehat {HIC}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta CID = \Delta CIH \,(g.c.g) \Rightarrow ID = IH\) (hai cạnh tương ứng) \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra \(ID = IE = 2cm\)

+ Từ tính chất của hai đường song song suy ra các cặp góc bằng nhau, từ đó dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh bằng nhau ta tìm mối liên hệ giữa chúng để suy ra điều phải chứng minh

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $FBD$ có:

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (hai góc so le trong).

$DF$ là cạnh chung

\(\widehat {{F_2}} = \widehat {{D_2}}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\Delta DEF = \Delta FBD\,\,\,(g.c.g)\)

Suy ra $EF = BD$ (hai cạnh tương ứng)

 Mà $AD = BD$ nên $EF = AD$

Ta có : \(\widehat {{F_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị); \(\widehat {{D_3}} = \widehat B\) (hai góc đồng vị)

 \( \Rightarrow \widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\left( { = \widehat B} \right).\).

Xét tam giác $ADE$ và tam giác $EFC$ có:

\(\widehat {{D_3}} = \widehat {{F_3}}\)(cmt)

\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\)(hai góc đồng vị)

$AD = EF\left( {cmt} \right)$

 \( \Rightarrow \Delta ADE = \Delta EFC\,\,\,(g.c.g).\) (1)

Tương tự ta chứng minh được \(\Delta EFC = \Delta DBF\,\,\,(g.c.g)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ADE = \Delta EFC = \Delta DBF\) (3)

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra mối quan hệ đúng.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$ vuông tại $D.$

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).

Xét hai tam giác vuông $BDA$ và $AEC$ có:

\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$

+ Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về cạnh của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).

Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).

+Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKG$ có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).

Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).

Dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau

Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ACD\) có

+ \(AE = AD\left( {gt} \right)\)

 + Góc \(A\) chung

+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.

Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có

+ \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)

+ \(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)

+ \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)

Nên \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai.

+ Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\)

 + Chứng minh \(AC = BK\) dựa vào hai tam giác bằng nhau \(AOC\) và \(BOK.\)

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau \(COD\) và \(KOD\) từ đó suy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

Kéo dài \(OC\) cắt \(BD\) tại \(K.\) Khi đó \(OD \bot OC \Rightarrow OD \bot CK \Rightarrow \widehat {COD} = \widehat {KOD} = 90^\circ \) ; \(AB \bot DK \Rightarrow \widehat {OBD} = \widehat {OBK} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(AOC\) và tam giác \(BOK\) có

+ \(\widehat {OAC} = \widehat {OBK} = 90^\circ \)

+ \(OA = OB\,\) (\(O\) là trung điểm của \(AB\))

+ \(\widehat {AOC} = \widehat {BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow OC = OK\) (hai cạnh tương ứng); \(AC = BK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \(DOC\) và tam giác \(DOK\) có

+ \(OC = OK\) (cmt)

+ \(\widehat {DOC} = \widehat {DOK} = 90^\circ \)

+ Cạnh \(OD\) chung,

Suy ra \(\Delta DOC = \Delta DOK\left( {g - c - g} \right)\) \( \Rightarrow CD = DK\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có $DK = DB + BK$ mà \(AC = BK\)(cmt) và \(CD = DK\) (cmt) nên \(CD = AC + BD.\)

+ Từ tính chất đường thẳng song song, tính chất tia phân giác suy ra các cặp góc bằng nhau.

+ Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác và hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba để chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

Ta có:

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$)

Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)

Xét tam giác $AOM$ và tam giác $BOM$ có:

 \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)

 $OM$ là cạnh chung

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM (g.c.g)\)

Do đó $OA = OB;MA = MB$ (các cặp cạnh tương ứng).

Sử dụng hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn) 

Ta thấy hai tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có hai yếu tố về góc \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).

Để tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là $AB = MN.$

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là \(\widehat C = \widehat M.\)