Loigiai.com.vn cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán 7 Cánh diều với nhiều dạng bài tập khác nhau. Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập và củng cố kiến thức đã học.
Các câu hỏi được thiết kế bám sát chương trình học, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học hiệu quả tại nhà.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Lời giải và đáp án
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(A\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(I\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Đáp án: B
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
\(H\) là giao của hai đường cao \(BE;\,CF\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(D\) là giao của \(AH\) và \(BC\) nên \(AD\, \bot BC.\)
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FI\) nên \(FI = IA = \dfrac{1}{2}AH\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FAI\) cân tại \(I\) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF}\) (1)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FK\) nên \(FK = BK = \dfrac{1}{2}BC\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FBK\) cân tại \(K\) suy ra \(\widehat {KFB} = \widehat {KBF}\) (2)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Ta có: \(\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\).
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\) Từ đó áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta IFK\) ta tính được \(IK.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\)
Ta có: \(FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(IFK\) ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tia phân giác, tính chất đường cao của tam giác, tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông.
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)\)
Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\)(tính chất tia phân giác)
+) $AJ$ là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)\)(tính chất tia phân giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}\).
Xét \(\Delta ABE\)có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại $E.$
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án: A
Sử dụng tính chất đường cao, định lý tổng ba góc trong tam giác và tính chất hai góc kề bù.
Xét tam giác \(CHK\) có \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} = 180^\circ \,\left( 1 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác \(DHK\) có \(\widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \,\left( 2 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} + \widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \, + 180^\circ \, = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {DHK} + \widehat {HDK} + \widehat {CKH} + \widehat {DKH} = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {DHC} + \widehat {HDK} + \widehat {DKC} = 360^\circ \) mà \(\widehat {CHD} = 90^\circ ;\,\widehat {DKC} = 90^\circ ;\,\widehat {HCK} = 50^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HDK} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Đáp án: C
Sử dụng tính chất và định nghĩa tam giác cân
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(DAB\) cân tại \(D\) suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {DAB}\,\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH}\,\left( 2 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABK\) có \(\widehat {BAK} = 90^\circ - \widehat {ABK}\,\left( 3 \right)\)
Từ (1); (2); (3) ta suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {BAK}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(C.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Đáp án : A
+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.
+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.
+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Xét \(\Delta ABC\) có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.
Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên \(AM \bot BC\).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).
\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).
Xét \({\Delta _v}BEC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BEC\)
\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Xét \({\Delta _v}BDC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $DM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BDC\)
\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án : D
Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.
Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$
Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)
Do đó \(\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}\) (đối đỉnh)
Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$(tính chất tam giác vuông cân)
Xét $\Delta CDE$ có: \(\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0} \) \(\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.\)
Lại có: \(\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\) .
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
Đáp án: D
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Xét \({\Delta _v}ABD\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Xét \({\Delta _v}AEC\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\left( 1 \right)\).
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\\\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\end{array} \right.\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)
Từ \(\left( 1 \right);\;\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) .
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCA\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = CK\left( {gt} \right)\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\left( {cmt} \right)\\BI = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow AI = AK\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đáp án: B
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Ta có \(AI = AK\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại A (*).
\(\Delta ABI = \Delta KCA\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {CAK}\left( 3 \right)\)(2 góc tương ứng)
Xét \({\Delta _v}AID\) có: \(\widehat {AID} + \widehat {IAD} = {90^0}\left( 4 \right)\)(trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {IAD} + \widehat {CAK} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIK\)vuông tại A (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \Delta AIK\)vuông cân tại $A.$
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác đều, định lý py-ta-go.
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = BC = AC = a\) có \(AM\) là đường trung tuyến suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) hay \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Ta có \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác $AMC$ vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có
\(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}\)\( = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác cân, định lý py-ta-go.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) mà $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao của tam giác đó.
Vì $AM$ là trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên $M$ là trung điểm của $BC$
\( \Rightarrow BM = \dfrac{{BC}}{2} = 24:2 = 12cm.\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) có: \(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (định lý py-ta-go)
\( \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \Rightarrow AB = \sqrt {169} = 13cm.\)
Vậy $AB = AC = 13cm.$
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AM\) cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác \(ABC.\)
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Đáp án : C
Vì hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$ nên $CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên A, B, D sai, C đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC \) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IF\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(A\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(AB\) là đường trung trực của đoạn \(IE.\)
\(AC\) là đường trung trực của đoạn \(IF.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\).
\(\Delta EAI\) cân tại \(I\).
Đáp án: D
Áp dụng:
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
- Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}.\)
- Định lí: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(I\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Tam giác đều
Tam giác tù
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Áp dụng tính chất đường trung trực để suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(\widehat {IFK} = {60^o}\)
\(\widehat {IFK} = {90^o}\)
\(\widehat {IFK} = {70^o}\)
\(\widehat {IFK} = {80^o}\)
Đáp án: B
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
- Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
\(H\) là giao của hai đường cao \(BE;\,CF\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(D\) là giao của \(AH\) và \(BC\) nên \(AD\, \bot BC.\)
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FI\) nên \(FI = IA = \dfrac{1}{2}AH\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FAI\) cân tại \(I\) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF}\) (1)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FK\) nên \(FK = BK = \dfrac{1}{2}BC\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FBK\) cân tại \(K\) suy ra \(\widehat {KFB} = \widehat {KBF}\) (2)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Ta có: \(\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\).
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
\(IK = 3\,cm\)
\(IK = 4\,cm\)
\(IK = 5\,cm\)
\(IK = 6\,cm\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\) Từ đó áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta IFK\) ta tính được \(IK.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\)
Ta có: \(FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(IFK\) ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại E
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại A.
\(\Delta ABE\) là tam giác vuông tại B.
\(\Delta ABE\) là tam giác đều
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tia phân giác, tính chất đường cao của tam giác, tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông.
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)\)
Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\)(tính chất tia phân giác)
+) $AJ$ là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)\)(tính chất tia phân giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}\).
Xét \(\Delta ABE\)có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại $E.$
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có hai đường cao \(AH\) và \(BK\) cắt nhau tại \(D.\)
Biết \(\widehat {ACB} = 50^\circ \) , tính \(\widehat {HDK.}\)
\({130^0}\)
\({50^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án: A
Sử dụng tính chất đường cao, định lý tổng ba góc trong tam giác và tính chất hai góc kề bù.
Xét tam giác \(CHK\) có \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} = 180^\circ \,\left( 1 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác \(DHK\) có \(\widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \,\left( 2 \right)\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {CKH} + \widehat {HDK} + \widehat {DHK} + \widehat {DKH} = 180^\circ \, + 180^\circ \, = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {CHK} + \widehat {DHK} + \widehat {HDK} + \widehat {CKH} + \widehat {DKH} = 360^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {HCK} + \widehat {DHC} + \widehat {HDK} + \widehat {DKC} = 360^\circ \) mà \(\widehat {CHD} = 90^\circ ;\,\widehat {DKC} = 90^\circ ;\,\widehat {HCK} = 50^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HDK} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(C.\)
Đều.
Đáp án: C
Sử dụng tính chất và định nghĩa tam giác cân
Nếu \(DA = DB\) thì tam giác \(DAB\) cân tại \(D\) suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {DAB}\,\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(\widehat {ABH} = 90^\circ - \widehat {BAH}\,\left( 2 \right)\)
Xét tam giác vuông \(ABK\) có \(\widehat {BAK} = 90^\circ - \widehat {ABK}\,\left( 3 \right)\)
Từ (1); (2); (3) ta suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {BAK}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\) suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(C.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\)là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông
Tam giác đều.
Đáp án : A
+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.
+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.
+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Xét \(\Delta ABC\) có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.
Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên \(AM \bot BC\).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).
\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).
Xét \({\Delta _v}BEC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BEC\)
\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Xét \({\Delta _v}BDC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $DM$ là trung tuyến của \({\Delta _v}BDC\)
\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
\({30^0}\)
\({45^0}\)
\({60^0}\)
\({90^0}\).
Đáp án : D
Áp dụng tính chất tam giác vuông cân, tính chất đường cao của tam giác.
Vì $Mx \bot AB \Rightarrow \widehat {AMx} = {90^0}$
Xét $\Delta AMC$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMC} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MA = MC\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} = {45^0}$ (tính chất tam giác vuông cân)
Do đó \(\widehat {DCE} = \widehat {MCA} = {45^0}\) (đối đỉnh)
Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BMD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\MB = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right. $ $\Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MDB} = {45^0}$(tính chất tam giác vuông cân)
Xét $\Delta CDE$ có: \(\widehat {CDE} = \widehat {DCE} = {45^0} \) \(\Rightarrow \widehat {CDE} + \widehat {DCE} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0}.\)
Lại có: \(\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\) .
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho \(BI = AC\). Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho\(CK = AB.\)
Chọn câu đúng.
\(AI > AK\)
\(AI < AK\)
\(AI = 2AK\)
\(AI = AK\)
Đáp án: D
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Xét \({\Delta _v}ABD\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Xét \({\Delta _v}AEC\) có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^0}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\left( 1 \right)\).
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\\\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {180^0}\end{array} \right.\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)
Từ \(\left( 1 \right);\;\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) .
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCA\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = CK\left( {gt} \right)\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\left( {cmt} \right)\\BI = AC\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KCA\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow AI = AK\) (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta AIK\) là tam giác gì?
\(\Delta AIK\)là tam giác cân tại B.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông cân tại A.
\(\Delta AIK\)là tam giác vuông
\(\Delta AIK\)là tam giác đều
Đáp án: B
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.
Ta có \(AI = AK\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại A (*).
\(\Delta ABI = \Delta KCA\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {CAK}\left( 3 \right)\)(2 góc tương ứng)
Xét \({\Delta _v}AID\) có: \(\widehat {AID} + \widehat {IAD} = {90^0}\left( 4 \right)\)(trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {IAD} + \widehat {CAK} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIK\)vuông tại A (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \Delta AIK\)vuông cân tại $A.$
Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) có bình phương độ dài là
\(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{{a^2}}}{4}.\)
\(\dfrac{{3{a^2}}}{2}.\)
\(\dfrac{{3a}}{2}.\)
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác đều, định lý py-ta-go.
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = BC = AC = a\) có \(AM\) là đường trung tuyến suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) hay \(AM \bot BC\) tại \(M\).
Ta có \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác $AMC$ vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có
\(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}\)\( = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{3{a^2}}}{4}.\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Biết $BC = 24cm,AM = 5cm.$ Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC.$
\(AB = AC = 13cm\)
\(AB = AC = 14cm\)
\(AB = AC = 15cm\)
\(AB = AC = 16cm\).
Đáp án : A
Áp dụng tính chất tam giác cân, định lý py-ta-go.
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) mà $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao của tam giác đó.
Vì $AM$ là trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên $M$ là trung điểm của $BC$
\( \Rightarrow BM = \dfrac{{BC}}{2} = 24:2 = 12cm.\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) có: \(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (định lý py-ta-go)
\( \Rightarrow A{B^2} = {12^2} + {5^2} = 169 \Rightarrow AB = \sqrt {169} = 13cm.\)
Vậy $AB = AC = 13cm.$
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
\(AM \bot BC\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC\)
\(AM\) là đường phân giác của góc \(BAC.\)
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
Sử dụng định lý: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AM\) cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác \(ABC.\)
Cho \(\Delta ABC\), hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H.$ Em hãy chọn phát biểu đúng:
$H$ là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
$H$ là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\).
$CH$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Đáp án : C
Vì hai đường cao $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $H$ nên $CH$ là đường cao của \(\Delta ABC\) và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên A, B, D sai, C đúng.
Bài 13 trong chương trình Toán 7 Cánh diều tập trung vào việc khám phá và hiểu rõ tính chất đặc biệt của ba đường cao trong một tam giác. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. Việc nắm vững tính chất này không chỉ quan trọng trong việc giải các bài tập hình học mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.
Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của tam giác xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng kéo dài của cạnh đối diện). Mỗi tam giác có ba đường cao tương ứng với ba đỉnh của nó.
Tính chất quan trọng nhất của ba đường cao là chúng đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là trực tâm của tam giác. Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến và các tam giác đồng dạng.
Các bài tập thuộc dạng này yêu cầu học sinh xác định đường cao dựa trên hình vẽ hoặc thông tin về tam giác. Cần chú ý đến điều kiện để một đoạn thẳng là đường cao: phải vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng kéo dài của cạnh đối diện).
Học sinh cần tìm giao điểm của ba đường cao để xác định trực tâm. Trong một số trường hợp, trực tâm có thể nằm ngoài tam giác (tam giác tù).
Các bài tập này thường yêu cầu học sinh sử dụng tính chất đồng quy của ba đường cao để chứng minh các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng H trùng với A.
Giải: Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC chính là AB và AC. Do đó, AB và AC cắt nhau tại A. Mà ba đường cao của tam giác đồng quy tại trực tâm, nên trực tâm H trùng với A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH = 2R, BH = 2R, CH = 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Giải: (Chứng minh phức tạp, cần kiến thức về đường tròn ngoại tiếp và quan hệ giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp).
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh nên thực hành với nhiều dạng bài tập trắc nghiệm khác nhau. Loigiai.com.vn cung cấp một hệ thống câu hỏi trắc nghiệm đa dạng, bao gồm các câu hỏi cơ bản, nâng cao và các câu hỏi vận dụng kiến thức vào thực tế.
Trắc nghiệm Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán 7 Cánh diều là một phần quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và có nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
