Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Chuyên đề 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc - Toán 12 Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung về biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, v.v.

II. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc mô tả khả năng xảy ra của mỗi giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận. Nó được biểu diễn bằng một hàm số, thường ký hiệu là P(X = x), trong đó X là biến ngẫu nhiên và x là một giá trị cụ thể của X.

Các tính chất của phân phối xác suất:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị x bằng 1)

III. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Kỳ vọng (Giá trị trung bình)

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Nó được tính bằng công thức:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

2. Phương sai

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng. Nó được tính bằng công thức:

Var(X) = ∑ (x - E(X))² * P(X = x)

3. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Nó đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên theo đơn vị của biến ngẫu nhiên.

σ(X) = √Var(X)

IV. Các phân phối xác suất rời rạc thông dụng

1. Phân phối Bernoulli

Phân phối Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại trong một thử nghiệm duy nhất. Ví dụ, tung một đồng xu và xem xét kết quả là mặt ngửa (thành công) hoặc mặt sấp (thất bại).

2. Phân phối nhị thức (Binomial)

Phân phối nhị thức mô tả xác suất có được một số lượng thành công nhất định trong một số lượng cố định các thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công không đổi. Ví dụ, tung một đồng xu 10 lần và xem xét số lần xuất hiện mặt ngửa.

3. Phân phối Poisson

Phân phối Poisson mô tả xác suất xảy ra một số lượng sự kiện nhất định trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, với điều kiện các sự kiện xảy ra độc lập và với tốc độ trung bình không đổi. Ví dụ, số lượng cuộc gọi đến một trung tâm dịch vụ khách hàng trong một giờ.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là:

P(X = 2) = C(5, 2) / C(8, 2) = 10 / 28 = 5/14

VI. Kết luận

Chuyên đề 3 về biến ngẫu nhiên rời rạc cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong chuyên đề này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Loigiai.com.vn hy vọng rằng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành đáng tin cậy trên con đường chinh phục môn Toán của bạn.