Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 4 - Chân trời sáng tạo

Thay x = 3 vào hàm số.

Với x = 3 thì \(y = {5.3^2} = 45\)(m).

Vậy quãng đường mà vật đó chuyển động được sau 3 giây là 45m.

Quan sát đồ thị để xác định điểm O; K.

Ta có tọa độ điểm O là O(0; 0); tọa độ điểm K là K(2; -1).

Gọi hàm số cần tìm là \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm O(0; 0) và điểm K nên ta có:

\(0 = a.0 + b\)\( \Leftrightarrow \)\(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

\( - 1 = a.2\)\( \Leftrightarrow \)\(a = \frac{{ - 1}}{2}\)\( \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x = y = - 0,5x\).

* Học sinh cũng có thể thay tọa độ điểm O và K vào các hàm số trong đáp án để tìm hàm số.

Dựa vào kiến thức về hệ số góc và hàm số bậc nhất để xác định.

Vì đường thẳng có hệ số góc bằng 2 nên a = 2 => y = 2x + b.

Vì đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) nên 1 = 2.2 + b hay b = -3 => y = 2x - 3.

Dựa vào kiến thức về mặt phẳng tọa độ.

“Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc tọa độ O của mỗi trục. Khi đó ta có hệ trục tọa độ Oxy”

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) với a là hệ số.

Hàm số có hệ số góc dương thì a > 0.

Hàm số \(y = 1 - x\) có hệ số góc âm ( a = -1 < 0)

Hàm số \(y = \frac{2}{3} - 2x\) có hệ số góc âm (a = -2 < 0)

Hàm số \(y = 2x + 1\) có hệ số góc dương (a = 2 > 0)

Hàm số \(y = 6 - 2\left( {x + 1} \right) = 6 - 2x - 2 = - 2x + 4\) có hệ số góc âm (a = -2 < 0)

Thay tọa độ điểm P vào đường thẳng để tìm m.

Vì \(P\left( {1; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - y = m\) nên ta có:

\(1 - \left( { - 2} \right) = m \Rightarrow m = 3\).

Sử dụng định lí Thales để chứng minh.

Ta có: DE // BC nên \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) (định lí Thales)

EF // CD nên \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) (định lí Thales)

\( \Rightarrow AF = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}.6 = 4(cm)\).

Sử dụng tính chất đường trung bình.

Ta có BD và CE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC; E là trung điểm của AB, khi đó DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC và DE = \(\frac{1}{2}\)BC. (1)

M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB nên MN là đường trung bình của tam giác GBC nên MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}\)BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE // MN và DE = MN => MNED là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Ta có AD là tia phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{2AB}} = \frac{1}{2}\) (tính chất của tia phân giác trong tam giác).

Áp dụng hệ quả của định lí Thales để tính độ dài đoạn thẳng AC. Từ đó tính được x.

Xét tam giác CDE có AB // DE nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{DE}}\\\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{20}}{{10}} = 2\\ \Rightarrow x - 2 = 2.6 = 12\\ \Rightarrow x = 14\end{array}\)

Sử dụng hệ quả của định lí Thales.

Vì cột cờ AC và cọc DE cùng vuông góc với mặt đất nên AC // DE.

Xét tam giác ABC có AC // DE nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BE}}\\\frac{{AC}}{2} = \frac{9}{{1,5}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{9.2}}{{1,5}} = 12\left( m \right)\end{array}\)

Sử dụng định lí Pythagore để tính BC. Dựa vào tính chất đường trung bình để tính PQ.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.5 = 2,5\left( {cm} \right)\)

a) Lấy hai điểm thuộc hàm số để vẽ đồ thị hàm số.

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng để tìm tọa độ giao điểm.

c) Thay tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) vào \(\left( {{d_3}} \right)\) để tìm m.

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right):y = x - 4\)

+ Cho x = 0 thì y = 0 – 4 = -4. Ta được điểm A(0; -4).

+ Cho y = 0 thì 0 = x – 4 => x = 4. Ta được điểm B(4; 0).

Đường thẳng AB chính là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):y = - 3x + 2\)

+ Cho \(x = 0\) thì \(y = - 3.0 + 2 = 2\). Ta được điểm \(C\left( {0;2} \right)\).

+ Cho \(y = 0\) thì \(0 = - 3x + 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\). Ta được điểm \(D\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).

Đường thẳng CD chính là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Ta có đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

\(\begin{array}{l}x - 4 = - 3x + 2\\x + 3x = 2 + 4\\4x = 6\\x = \frac{3}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow y = \frac{3}{2} - 4 = - \frac{5}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(E\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

c) Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên \(E\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right) \in \left( {{d_3}} \right)\).

Thay tọa độ điểm E vào hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 3m + 12\), ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 5}}{2} = \left( {m - 2} \right).\frac{3}{2} + 3m + 12\\\frac{{ - 5}}{2} = \frac{3}{2}m - 3 + 3m + 12\\\frac{9}{2}m = - \frac{{23}}{2}\\ \Rightarrow m = - \frac{{23}}{9}\end{array}\)

Vậy \(m = \frac{{ - 23}}{9}\) thì \(\left( {{d_3}} \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 3m + 12\) đi qua giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).

a) Thay x = 0 và y = 100; x = 3600 và y = 87 vào hàm số y = ax + b để xác định a và b.

b) Thay x = 1500 m để tính nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này.

a) Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển (x = 0m) thì nước có nhiệt độ số là y = \({100^0}C\) nên (0; 100) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b => 100 = a.0 + b hay b = 100 => y = ax + 100.

Thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao x = 3600 m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là y = \({87^0}C\) nên (3600; 87) thuộc đồ thị hàm số y = ax + 100 => 87 = a.3600 + 100 => a = \( - \frac{{13}}{{3600}}\).

Do đó \(y = - \frac{{13}}{{3600}}x + 100\).

b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển nên x = 1500. Thay x = 1500, ta được:

\(y = - \frac{{13}}{{3600}}.1500 + 100 \approx 95\left( {^0C} \right)\).

Dựa vào tính chất của đường trung bình để tính.

Vì Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tam giác CDE.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow QP = \frac{1}{2}DE\\ \Rightarrow DE = 2QP = 2.1,5 = 3m\end{array}\)

Vậy chiều dài mái DE bằng 3m.

a) Sử dụng hệ quả của định lí Thales trong tam giác để tính CD.

b) Áp dụng định lí Thales để tính OH.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

c) Dựa vào hệ quả và định lí Thales để chứng minh.

d) Chứng minh \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) để suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = 1\).

a) Xét tam giác OCD có AB // CD, ta có:

\(\frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{CD}}\) (hệ quả của định lí Thales)

\(\frac{4}{8} = \frac{5}{{CD}} \Rightarrow CD = 5:\frac{4}{8} = 10\left( {cm} \right)\)

b) Xét tam giác OKC có AH // KC (vì AB // CD), ta có:

\(\frac{{HO}}{{OK}} = \frac{{OA}}{{OC}}\) (Định lí Thales)

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow OH = \frac{1}{2}.6 = 3\left( {cm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}3.5 = 7,5\left( {c{m^2}} \right)\)

c) Xét tam giác ACD có EO // CD (vì AB // CD) nên \(\frac{{EO}}{{CD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét tam giác BCD có OF // CD (vì AB // CD) nên \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{OF}}{{CD}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét tam giác ABC có OF // AB nên \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (định lí Thales) (1)

\( \Rightarrow \frac{{EO}}{{CD}} = \frac{{OF}}{{CD}} \Rightarrow EO = OF\) (đpcm)

d) Xét tam giác ACD có EO // CD nên \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BC}} + \frac{{CF}}{{BC}} = \frac{{BF + CF}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\) (đpcm).

Dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\).

Theo đề bài ta có:

\({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 2019\end{array} \right. \Rightarrow y = 2x + b\).

Vì \({d_1}\) cắt trục tung tại \(A\left( {0; - 2} \right)\) nên -2 = 2.0 + b \( \Rightarrow \) b = -2 (TM)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^3} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^3} = 4 - 8 = - 4\).

Vậy \({a^2} - {b^3} = - 4\).