Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 1 - Chân trời sáng tạo

Sử dụng quy tắc tính với đa thức.

Ta có:

\(\begin{array}{l}4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\\ = \left( {4{x^2}y - 10{x^2}y} \right) + \left( {6{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right)\\ = - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\end{array}\)

Thay x = y = -1 vào đa thức rồi tính toán.

Thay x = y = -1 vào đa thức \(xy + 2{x^2}{y^3} - {x^4}y\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2{\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^4}\left( { - 1} \right)\\ = 1 - 2 + 1 = 0\end{array}\)

Sử dụng các phép tính với phân thức đại số để tìm kết quả đúng.

1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}} = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}} \Rightarrow \)1 – b.
2. \(\;\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}} + \;\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}} \Rightarrow \) 2 – d.
3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{25{x^2}.34{y^5}}}{{17{y^4}.15{x^3}}} = \frac{{5.2y}}{{3x}} = \frac{{10y}}{{3y}} \Rightarrow \) 3 – a.
4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}} = \frac{{{x^2} + 3x + 5x + 15}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{x - 3}} \Rightarrow ... = x + 5 \Rightarrow \)4 – c.

Đáp án: 1 – b; 2 – d; 3 – a; 4 – c.

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Ta có: AM = 2cm; BC = 4cm \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC\). Mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC hay tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^0\).

- Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (nhỏ hơn \(90^0\)) => Tổng 4 góc < \(4.90^0\) = \(360^0\) => Vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng \(360^0\).

- Nếu có 3 góc nhỏ hơn \(90^0\) ; 1 góc > \(90^0\) => Tổng 3 góc đó < 3.\(90^0\) = \(270^0\) => góc còn lại lớn hơn \(360^0- 270^0 = 90^0\) (thỏa mãn)

Vậy tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

Ta sử dụng kiến thức về hình bình hành.

Hình bình hành là một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên C đúng.

Sử dụng định lí Pythagore và công thức tính diện tích tam giác.

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm thì độ dài cạnh huyền BC là: \(BC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) (cm).

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\)

=> AB.AC = AH.BC

6.8 = AH.10

48 = AH.10

AH = 48:10 = 4,8 (cm).

Dựa vào công thức tính thể tích hình chóp tứ giác để tính độ dài cạnh đáy của hình chóp đó.

\(V = \frac{1}{3}{S_d}.h \) suy ra \( {S_d} = \frac{{3V}}{h}\)

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 100cm³, đường cao SH = 12cm.

Ta có \(V = \frac{1}{3}{S_d}.h \) suy ra \( {S_d} = \frac{{3V}}{h}\)

\({S_d} = \frac{{3.100}}{{12}} = 25\).

Vì đáy hình chóp là hình vuông nên độ dài cạnh đáy là \(\sqrt {25} = 5\left( {cm} \right)\).

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

\(S_{xq} = pd\) trong đó p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn.

Nửa chu vi đáy là: p = \(\frac{{5 + 5 + 5}}{2} = 7,5\) (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là:

\({S_{xq}} = p.d = 7,5.6 = 45\) (cm\(^2\)).

Dựa vào phân loại dữ liệu: Dữ liệu được chia thành hai loại: Dữ liệu định tính (dữ liệu không phải số) và dữ liệu định lượng (số liệu).

Dữ liệu định lượng (số liệu) trong bảng trên là dữ liệu Số bạn yêu thích : 5; 8; 15; 2.

Kiểm tra xem dữ liệu trong biểu đồ có cột nào chưa chính xác.

Vì mỗi kho hàng đều có 50 tấn hàng nên tổng số lượng vật liệu đã xuất bán và số lượng vật liệu còn tồn lại phải bằng 50 tấn. Mà cột kho 4, số lượng vật liệu đã xuất bán và số lượng vật liệu còn tồn lại là: 30 + 15 = 45 (tấn) nên số liệu ở kho 4 không đúng.

a) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức.

Thay x = 5 và y = 3 vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

b) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x - 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{x + y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - y}}\end{array}\)

Điều kiện để \(\frac{1}{{x - y}}\) xác định là \(x - y \ne 0 \Leftrightarrow x \ne y\).

Tại x = 5 và y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thì giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{x - y}}\) là: \(\frac{1}{{5 - 3}} = \frac{1}{2}\).

Vậy tại x = 5 và y = 3 thì giá trị của biểu thức \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\) là \(\frac{1}{2}\).

b) Phân tích \(2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\)thành nhân tử, ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\\ = \left( {2x - 2y} \right) - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = 2\left( {x - y} \right) - {\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {x - y} \right)\left( {2 - x + y} \right)\end{array}\)

a) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức.

b) Để A là số nguyên thì mẫu thức phải là ước của tử thức.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + \;4x\; + \;4}}{{{x^3} + \;2{x^2} - 4x - 8}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 2}}\end{array}\)

b) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \(x - 2 \in \) Ư(1) \( \Rightarrow x - 2 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Ta có: x – 2 = 1 \( \Rightarrow \) x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

x – 2 = -1 \( \Rightarrow \) x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A là số nguyên khi \(x \in \left\{ {1;3} \right\}\).

a) Dựa vào dữ liệu đề bài cho để điền vào bảng.

b) Điền số tương ứng vào biểu đồ.

a) Ta có bảng thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm:

b) Biểu đồ cột biểu diễn các dữ liệu thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm trên là:

1. Sử dụng định lí Pythagore.

2. 

a) Chứng minh tứ giác ABCM có cặp cạnh song song và bằng nhau.

b) Chứng minh AMND là hình bình hành có một góc vuông.

c) Khi tứ giác AMND là hình vuông suy ra các góc tương ứng để tính số đo góc ABC.

1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có

BC² = AB² + AC²(Định lí Pythagore)

BC² = 450² + 600²

BC² = 562500

=> BC = 750m

Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m

2.

a) Ta có: AB = CM (\( = \frac{1}{2}\)CD) và AB // CM (M \( \in \) CD) nên ABCM là hình bình hành. (đpcm)

b) Ta có AM = BC (ABCM là hình bình hành)

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân)

=> AM = AD. (1)

Xét tam giác ADH và NDH có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH = NH\\\widehat {AHD} = \widehat {NHD} = {90^0}\\DH\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADH = \Delta NDH(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = DN\) (hai cạnh tương ứng). (2)

Tương tự, ta chứng minh được AM = MN. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = MN = DN = AD => tứ giác AMND là hình thoi. (đpcm)

c) Khi AMND là hình vuông thì \(\widehat {ADN} = {90^0}\). Trong hình vuông AMND, đường chéo DM là tia phân giác của góc ADN nên \(\widehat {ADM} = \widehat {MDN} = \frac{{{{90}^0}}}{2} = {45^0}\).

Góc BAD và góc ADC là hai góc kề một cạnh bên của hình thang ABCD nên \(\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\).

Mà ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} = {135^0}\). (đpcm)

Dựa vào hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\); \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) để tìm x, y.

Thay x, y vào biểu thức M để tính giá trị của biểu thức M.

Ta có:

\(\begin{array}{l}5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\\\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + ({x^2} - 2x + 1) + ({y^2} + 2y + 1) = 0\\4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x-1} \right)^2} + {(y + 1)^2} = 0\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(4{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0;{\left( {x-1} \right)^2} \ge 0;{(y + 1)^2} \ge \;0\) với mọi x, y

Nên (*) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\).

Thay x = 1 và y = -1 vào biểu thức M, ta được:

\(M = {(1 - 1)^{2017}} + {(1 - 2)^{2018}} + {( - 1 + 1)^{2019}} = {\left( { - 1} \right)^{2018}} = 1\) .

Vậy M = 1 .