Đề thi học kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo - Đề số 6

a) E, F là trung điểm của AB, AC.

b) \(EF = \frac{1}{2}AC\).

c) ME = MF.

d) AE = AF.

a) Bạn An đã gieo xúc xắc 50 lần.

b) Số kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt 4 chấm” là 4.

c) Xác suất của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” là 0,6.

d) Xác suất của biến cố xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3” là \(\frac{{14}}{{25}}\).

Dựa vào kiến thức về đồ thị hàm số \(y = ax\left( {a \ne 0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = ax\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng luôn đi qua gốc toạ độ \(O\left( {0;0} \right)\).

Đáp án A

Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) có hệ số góc là a.

Hệ số góc của đường thẳng \(y = x - 2\) là \(a = 1\).

Đáp án D

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)\).

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)\).

Do đó \(2x + 1 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án D

Giải phương trình bậc nhất một ẩn:

\(\begin{array}{l}ax + b = 0\\ax = - b\\x = - \frac{b}{a}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3 - 2x = 0\\ - 2x = - 3\\x = \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{3}{2}\)

Đáp án C

Chứng minh DE // AB.

Sử dụng định lí Thalès để xác định.

Vì \(\widehat {ABC} = \widehat {DEC}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE//BC\).

Áp dụng định lí Thalès ta có: \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) nên A đúng.

Đáp án A

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh của tam giác đó.

Trong Hình 3, xét tam giác ABC ta có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Đáp án C

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{DC}}\) hay \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Đáp án C

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra góc tương ứng bằng \(\widehat F\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^\circ \) suy ra số đo \(\widehat F\).

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ nên \(\widehat F = \widehat C\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 75^\circ - 50^\circ = 55^\circ \).

Do đó \(\widehat F = 55^\circ \).

Đáp án C

Hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc nếu chúng có hai cặp góc bằng nhau.

Để $\Delta MNP\backsim \Delta DEF\left( g.g \right)$ có \(\widehat M = \widehat D\) thì ta cần thêm \(\widehat P = \widehat F\) hoặc \(\widehat N = \widehat E\) nên ta chọn B.

Đáp án B

Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng $k$ thì $\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$.

Để $\Delta MNP\backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng $k=1$ thì $\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k'=\frac{1}{k}=\frac{1}{1}=1$.

Đáp án C

Xác định các số thoả mãn quả bóng được sơn màu cam.

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Quả bóng được lấy ra có màu cam” là 10, đó là các quả bóng từ 1 đến 10.

Đáp án A

Xác định các thẻ ghi số chẵn, ta được số các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với tổng số kết quả có thể (tổng số thẻ).

Các kết quả thuận lợi cho biến cố “lấy được thẻ ghi số chẵn” là: 4; 6; 8; 10; 12.

Do đó có 5 kết quả thuận lợi.

Có 10 kết quả có thể khi lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp.

Xác suất để chọn được thẻ ghi số chẵn là: \(\frac{5}{{10}} = 0,5\).

Đáp án D

a) E, F là trung điểm của AB, AC.

b) \(EF = \frac{1}{2}AC\).

c) ME = MF.

d) AE = AF.

a) Chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABC nên E là trung điểm của AB.

Chứng minh MF là đường trung bình của tam giác АВС nên F là trung điểm của AC.

b) Sử dụng tính chất của đường trung bình.

c) Sử dụng tính chất của đường trung bình và tính chất của tam giác cân.

d) Sử dụng tính chất của trung điểm.

a) Đúng

Ta có M là trung điểm của BC và ME // AC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó E là trung điểm của AB.

Ta có M là trung điểm của BC và MF // AB nên MF là đường trung bình của tam giác АВС.

Do đó F là trung điểm của AC.

Vậy E, F là trung điểm của AB, AC.

b) Sai

Vì E, F là trung điểm của cạnh AB, AC (câu a) nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó \(EF = \frac{1}{2}BC\).

Mà AC và BC không bằng nhau nên b sai.

c) Đúng

Ta có: ME, MF là các đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó \(ME = \frac{1}{2}AC,MF = \frac{1}{2}AB\).

Mà tam giác ABC cân nên AB = AC.

Suy ra ME = MF.

d) Đúng

Ta có E, F là trung điểm của cạnh AB, AC.

Do đó \(AE = \frac{1}{2}AB,AF = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra AE = AF.

Đáp án: ĐSĐĐ

a) Bạn An đã gieo xúc xắc 50 lần.

b) Số kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt 4 chấm” là 4.

c) Xác suất của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” là 0,6.

d) Xác suất của biến cố xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3” là \(\frac{{14}}{{25}}\).

a) Dựa vào bảng thống kê số lần để tính tổng số lần gieo.

b) Quan sát bảng xác định số lần xuất hiện mặt 4 chấm.

c) Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

d) Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố (số chấm không nhỏ hơn 3 ta tính các kết quả số chấm 3, 4, 5, 6).

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

a) Đúng

Bạn An đã gieo tổng số lần là:

10 + 8 + 6 + 12 + 4 + 10 = 50 (lần)

b) Sai

Quan sát bảng, ta thấy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Xuất hiện mặt 4 chấm” là 12.

c) Đúng

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” là:

12 + 8 + 10 = 30.

Xác suất của biến cố “Xuất hiện số mặt có 30 số chấm chẵn” là: \(\frac{{30}}{{50}} = 0,6\).

d) Sai

Kết quả thuận lợi của biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3" là:

6 + 12 + 4 + 10 = 32

Do đó xác suất của biến cố đó là: \(\frac{{36}}{{50}} = \frac{{16}}{{25}}\).

Đáp án: ĐSĐS

Thay toạ độ điểm \(A\left( { - m; - 3} \right)\) vào \(\left( d \right):y = - 2x + 3\) để tìm m

Thay toạ độ điểm \(A\left( { - m; - 3} \right)\) vào \(\left( d \right):y = - 2x + 3\), ta được:

\(\begin{array}{l} - 2\left( { - m} \right) + 3 = - 3\\2m = - 3 - 3\\2m = - 6\\m = \left( { - 6} \right):2\\m = - 3\end{array}\)

Đáp án: -3

Đưa phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn để tìm x.

Ta có: \(x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\)

\(\begin{array}{l}x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\\{x^3} + 6{x^2} + 9x - 3x - {x^3} - 6{x^2} - 12x - 9 = 0\\\left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {6{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {9x - 3x - 12x} \right) - 9 = 0\\ - 6x = 9\\x = \frac{{ - 3}}{2} = - 1,5\end{array}\)

Vậy \(x = - 1,5\)

Đáp án: -1,5

Đưa về cùng đơn vị.

Chứng minh AK là đường phân giác của \(\widehat {IKB}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta IKB\) có \(\frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{BK}}{{IK}}\).

Theo bài ra ta có: \(IA = 500{\mkern 1mu} m = 0,5{\mkern 1mu} km\), \(AB = 6{\mkern 1mu} km\), \(IK = 1{\mkern 1mu} km\).

Vì \(\widehat {IKA} = \widehat {AKB}\) nên AK là tia phân giác của \(\widehat {IKB}\), suy ra AK là đường phân giác của tam giác IKB.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta IKB\), ta có:

\(\frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{BK}}{{IK}}\) hay \(\frac{6}{{0,5}} = \frac{{BK}}{1}\)

Suy ra \(BK = \frac{6}{{0,5}} = 12\left( {km} \right)\)

Vậy khoảng cách từ người đó (vị trí \(K\)) đến hòn đảo \(B\) là \(BK = 12{\mkern 1mu} km\).

Đáp án: 12

Xác định tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với món gà mà bạn An chọn, từ đó suy ra số kết quả có thể xảy ra.

Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố “Món gà được bạn An chọn có giá dưới 70 000 đồng”, suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số kết quả có thể.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với món gà mà bạn An chọn là:

A = {combo gà rán; combo gà viên; gà rán - 1 miếng; gà rán – 2 miếng; gà rán – 3 miếng; cánh gà chiên – 3 miếng}.

Vậy có 6 kết quả có thể xảy ra.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Món gà được bạn An chọn có giá dưới 70 000 đồng” là: gà rán – miếng giá 35 000 đồng; gà rán – 2 miếng giá 68 000 và cánh gà chiên – 3 miếng giá 48 000 đồng.

Do đó, có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vậy xác suất của biến cố “Món gà được bạn An chọn có giá dưới 70 000 đồng” là: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Đáp án: 0,5

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \(x\left( \% \right)\) với \(x > 20\).

Biểu diễn lượng muối có trong dung dịch I, nồng độ muối trong dung dịch II, lượng muối trong dung dịch II, khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch theo \(x\).

Tính khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch, từ đó lập phương trình biểu diễn nồng độ muối sai khi trộn hai dung dịch I và II.

Giải phương trình và kiểm tra điều kiện.

Từ đó tính nồng độ muối trong dung dịch II.

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \(x\left( \% \right)\) với \(x > 20\).

Khi đó lượng muối có trong dung dịch I là:

\(200.\frac{x}{{100}} = 2x\left( g \right)\).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là: \(x - 20\left( \% \right)\)

Khi đó lượng muối trong dung dịch II là: \(300.\frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)\left( g \right)\)

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: \(2x + 3\left( {x - 20} \right)\left( g \right)\)

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500\left( g \right)\)

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình:

\(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}}.100\% = 33\% \)

Giải phương trình, ta được:

\(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}}.100\% = 33\% \).

\(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{5} = 33\)

\(\begin{array}{l}2x + 3x - 60 = 33.5\\5x - 60 = 165\\5x = 165 + 60\\5x = 225\\x = 225:5\\x = 45\left( {TM} \right)\end{array}\)

Suy ra nồng độ muối trong dung dịch II là: 45 – 20 = 25(%).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là 45% và 25%.

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ACB}\) chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g) suy ra $CH\cdot CB=CI\cdot CK$

c) Chứng minh \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\), suy ra \(BI \bot DC\).

Gọi \(M\) là giao điểm của BI và DC, khi đó \(BM \bot CD\) nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Chứng minh $\Delta CMI\backsim \Delta CDK$ (g.g) suy ra \(CD \cdot CM = CI \cdot CK\)

Kết hợp với phần b) ta được \(CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)\) (1)

Chứng minh $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g) suy ra \(DK \cdot DB = DM \cdot DC\) (2)

Cộng (1) và (2) để được điều phải chứng minh.

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ACB}\) chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKB\) có:

\(\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ \) (gt)

\(\,\widehat {HCI}\) chung

nên $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g)

suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}\)

do đó \(CH \cdot CB = CI \cdot CK\)

c) Vì \(DH \bot BC\) (do \(HA \bot BC\), D thuộc tia HA) nên DH là đường cao của \(\Delta BDC\).

Vì \(CK \bot BD\) (do \(CI \bot BK\)) nên CK là đường cao của \(\Delta BDC\).

Mà DH cắt CK tại I nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta BDC\), suy ra \(BI \bot DC\).

Gọi \(M\) là giao điểm của BI và DC, khi đó \(BM \bot CD\) nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta CMI\) và \(\Delta CDK\), ta có:

\(\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {DCK}\) chung

nên $\Delta CMI\backsim \Delta CKD$ (g.g)

suy ra \(\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}\), do đó \(CD \cdot CM = CI \cdot CK\)

Mà từ phần b) ta có: \(CH \cdot CB = CI \cdot CK\)

Suy ra \(CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)\) (1)

Xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta KDC\), ta có:

\(\widehat {DMB} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) (cmt)

\(\widehat {BDC}\) chung

nên $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g)

suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{DM}}{{DK}}\), do đó \(DK \cdot DB = DM \cdot DC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD \cdot CM + DM \cdot DC\)\( = DC \cdot (MD + MC) = D{C^2}\)

Biến đổi phương trình để xuất hiện dạng \(A\left( {A - 1} \right)\left( {A + 1} \right) = 72\).

Đặt \(y = A - 1\), đưa phương trình về dạng \(A\left( y \right).B\left( y \right) = 0\).

Giải phương trình để tìm y, từ đó suy ra giá trị x tương ứng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}2x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {4x - 1} \right) = 9\\x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {8x - 2} \right) = 9\\8x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {8x - 2} \right) = 72\end{array}\)

Đặt \(y = 8x - 1\), phương trình trở thành: \(\left( {y + 1} \right){y^2}\left( {y - 1} \right) = 72\)

Suy ra \(\left( {y + 1} \right){y^2}\left( {y - 1} \right) = 72\)

\(\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right){y^2}\left( {y - 1} \right) - 72 = 0\\\left( {{y^2} - 1} \right).{y^2} - 72 = 0\\{y^4} - {y^2} - 72 = 0\\{y^4} - 9{y^2} + 8{y^2} - 72 = 0\\{y^2}\left( {{y^2} - 9} \right) + 8\left( {{y^2} - 9} \right) = 0\\\left( {{y^2} + 8} \right)\left( {{y^2} - 9} \right) = 0\end{array}\)

Mà \({y^2} + 8 > 0\) nên \({y^2} - 9 = 0\), suy ra \(y = 3\) hoặc \(y = - 3\).

+) Với \(y = 3\) thì \(8x - 1 = 3\) nên \(8x = 4\), suy ra \(x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

+) Với \(y = - 3\) thì \(8x - 1 = - 3\) nên \(8x = - 2\), suy ra \(x = \frac{{ - 2}}{8} = \frac{{ - 1}}{4}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{2};x = \frac{{ - 1}}{4}\).