Bài tập cuối chương 5

Bài tập cuối chương 5 - SGK Toán 12: Phương pháp tọa độ trong không gian - Giải chi tiết

Chương 5 trong SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào phương pháp tọa độ trong không gian, một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cùng ôn lại những lý thuyết trọng tâm của chương:

• Hệ tọa độ Oxyz: Định nghĩa, các mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ.
• Vector trong không gian: Các phép toán vector (cộng, trừ, nhân với một số), tích vô hướng, tích có hướng.
• Phương trình đường thẳng trong không gian: Dạng tham số, dạng chính tắc, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng.
• Phương trình mặt phẳng trong không gian: Dạng tổng quát, các trường hợp đặc biệt.
• Khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

II. Hướng dẫn giải bài tập cuối chương 5

Các bài tập cuối chương 5 thường xoay quanh các chủ đề sau:

1. Xác định các yếu tố của đường thẳng và mặt phẳng: Tìm vector chỉ phương, vector pháp tuyến, điểm thuộc đường thẳng/mặt phẳng.
2. Viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng các thông tin đã cho để viết phương trình.
3. Kiểm tra vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng tích vô hướng, tích có hướng để xác định.
4. Tính khoảng cách: Áp dụng công thức tính khoảng cách để giải quyết bài toán.
5. Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình học: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, đồng phẳng.

III. Giải một số bài tập minh họa

Bài 1: Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 4 + 2t. Tính khoảng cách từ A đến d.

Giải:

1. Tìm một điểm M thuộc d: Chọn t = 0, ta có M(2; 1; 4).
2. Tính vector AM: AM = (1; -1; 1).
3. Tính vector chỉ phương của d: u = (1; -1; 2).
4. Tính tích có hướng của AM và u: AM x u = (1; -3; -2).
5. Tính độ dài của AM x u: ||AM x u|| = sqrt(1^2 + (-3)^2 + (-2)^2) = sqrt(14).
6. Tính độ dài của u: ||u|| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(6).
7. Khoảng cách từ A đến d: d(A, d) = ||AM x u|| / ||u|| = sqrt(14) / sqrt(6) = sqrt(7/3).

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): 2x - y + z - 2 = 0. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

Giải:

1. Tìm vector pháp tuyến của (P): n1 = (1; 1; 1).
2. Tìm vector pháp tuyến của (Q): n2 = (2; -1; 1).
3. Tính tích vô hướng của n1 và n2: n1.n2 = 1*2 + 1*(-1) + 1*1 = 2.
4. Tính độ dài của n1 và n2: ||n1|| = sqrt(3), ||n2|| = sqrt(6).
5. Góc giữa hai mặt phẳng: cos(theta) = (n1.n2) / (||n1|| * ||n2||) = 2 / (sqrt(3) * sqrt(6)) = 2 / sqrt(18) = 1/3.
6. Suy ra theta = arccos(1/3).

IV. Lời khuyên khi giải bài tập

• Nắm vững lý thuyết và công thức.
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập.
• Vẽ hình để hình dung rõ hơn về bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập cuối chương 5 môn Toán 12 tập 2. Chúc các em học tốt!